Основное соотношение.

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

Формула вычисления угла между векторами

18..

19…

Пусть в евклидовом пространстве известным образом задано скалярное произведение . Матрицей Грама системы векторов называется квадратная матрица, состоящая из всевозможных скалярных произведений этих векторов:

Матрица Грама является симметричной матрицей. Ее определитель называется определителем Грама (или грамианом) системы векторов :

20…

Ортонормированная система, состоящая из n векторов n -мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e ₁, e ₂, ..., e _n — ортонормированный базис n -мерного евклидова пространства и

x = x ₁ e₁ + x ₂ e₂ +... + x_n e _n — разложение вектора x по этому базису, то координаты x _i вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам x _i =(x, e _i), i = 1, 2,..., n.

Процесс Грама ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором полинейно независимой системе строится ортогональная система такая, что каждый вектор линейно выражается через , то есть матрица перехода от к ― верхнетреугольная матрица. При этом можно добиться того, чтобы система была ортонормированной и чтобы диагональные элементы матрицы перехода были положительны; этими условиями система и матрица перехода определяются однозначно.

Этот процесс применим также и к счётной системе векторов.

Процесс Грама ― Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами, что есть частный случайразложения Ивасавы.

Алгоритм

Полагают , и, если уже построены векторы , то

Геометрический смысл описанного процесса состоит в том, что на каждом шагу вектор является перпендикуляром, восстановленным к линейной оболочке векторов до конца вектора .

Нормируя полученные векторы ,

получают искомую ортонормированную систему .

21…

Ортогональное дополнение — это множество всех векторов , ортогональных каждому вектору из . Это множество является векторным подпространством , которое обычно обозначается .