Положительная определенность скалярного произведения)

имеем причем только при .

Другими словами, скалярным произведением называется положительно определенная полуторалинейная эрмитова функция .

Отметим, что над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией

Тема 3

24….

Лине́ йным отображе́ нием (лине́ йным опера́ тором) векторного пространства над полем в векторное пространство (над тем же полем ) называется отображение

,

удовлетворяющее условию линейности

.

для всех и .

Важные частные случаи

Линейный функционал — линейный оператор, для которого :

Эндоморфизм — линейный оператор, для которого :

Тождественный оператор — оператор , отображающий каждый элемент пространства в себя.

Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент в нулевой элемент .

25….

Ядром линейного отображения называются подмножество A, которое отображается в нуль:

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве А.

Образом линейного отображения f называется следующее подмножество B:

Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве B.

Отображение прямого произведения линейных пространств A и B в линейное пространство C называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.

26…