Характеристический многочлен

Пусть A — линейный оператор, действующий в n -мерном линейном пространстве X, λ _i — собственное значение оператора A, а e _i — соответствующий собственный вектор: A (e _i) = λ _i e _i, e _i ≠ 0, e _i ∈ X.

Или пусть A — матрица оператора A, или произвольная квадратноя матрица, λ _i — собственное значение матрицы A, а e _i — соответствующийсобственный вектор: A·e _i = λ _i e _i, e _i ≠ 0, e _i ∈ X.

Собственные значения λ _i являются корнями характеристического уравнения det(A − λ E) = 0.

Многочлен P (λ) = − det(A − λ E), из левой части характеристического уравнения, называется характеристическим многочленом матрицы A.

Характеристический многочлен P(λ) = − det(A − λ E) — многочлен степени n относительно λ:

P (λ) = λ ⁿ − a _{n -1}λ ^{n -1}+ a _{n -2}λ ^{n -2}+...+ (− 1) ⁿ a ₀.

35..

Смотри предыдущий ответ

36..

Определение инвариантных подпространств

Пусть — линейное преобразование линейного пространства . Линейное подпространство называется инвариантным относительно преобразования , если образ любого вектора из принадлежит подпространству , т.е. . Другими словами, инвариантное подпространство включает свой образ . Нулевое подпространство и все пространство являются инвариантными подпространствами для любого линейного преобразования .

Пусть — инвариантное подпространство относительно преобразования . Линейный оператор , рассматриваемый как линейное преобразование пространства в себя, называется сужением (ограничением) линейного преобразования на инвариантное подпространство и обозначается , или . Для всех векторов выполняется равенство , т.е. образы, порождаемые оператором и его сужением , совпадают.

Определение линейного подпространства

Непустое подмножество линейного пространства называется линейным подпространством пространства , если

1) (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);

2) и любого числа (подпространство замкнуто по отношению к операции умножения вектора на число).

Для указания линейного подпространства будем использовать обозначение

37..

Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.

Теорема. Пусть собственные значения оператора различны. Тогда отвечающие им собственные векторы линейно независимы.

Доказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов. Для одного собственного вектора утверждение теоремы очевидно. Предположим, что утверждение теоремы верно для векторов . Добавим к этим векторам еще один вектор . Предположим, что эта система из векторов линейно зависима, т.е. существуют числа , одновременно не равные нулю, такие, что

. (*)

Применим к обеим частям равенства оператор:

.

Так как векторы - собственные, отвечающие различным собственным значениям , то:

. (**)

Вычтем из равенства (**) равенство (*), умноженное на :

.

Так как все числа различны, то из линейной независимости векторов следует равенство нулю коэффициентов . Но тогда из равенства (*) следует, что . Это означает, что векторы линейно независимы. Теорема доказана.

Следствие. Если характеристический многочлен линейного оператора имеет различных корней, то существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид.

38..

39..

Характеристический полином линейного оператора: Пусть — линейный оператор. Рассмотрим называется характеристическим полиномом линейного оператора

Лемма:

и все его компоненты — инварианты линейного оператора

Доказательство:

Определение:

называется инвариантным подпространством линейного оператора , если (т.е. )

40..

Ко́ мпле́ ксные^[1] чи́ сла (устар. мнимые числа^[2]) — числа вида , где и — вещественные числа, — мнимая единица; то есть . Множество всех комплексных чисел обычно обозначается

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида