Свойства ортогональных операторов

Свойство 1. Ортогональный оператор невырожденный, т. е. имеет обратный оператор, который также является ортогональным.

Свойство 2. Если – матрица ортогонального оператора, то – матрица обратного ему оператора .

Свойство 3. Произведение ортогональных операторов также ортогональный оператор.

48..

В случае евклидового пространства, в отличие от линейного аффинного, не все базисы равносильны по своим геометрическим свойствам. Среди них можно выделить наиболее простые - так называемые ортонормированные, которые в случае обычного пространства соответствуют базису прямоугольной декартовой системы координат.

Можно показать, что в -мерном комплексном пространстве и в вещественном собственно евклидовом пространстве всегда можно выбрать базисные векторы так, чтобы они удовлетворяли следующим условиям:

(353)

В этом случае, как видно, метрический тензор совпадает с единичным и на таких базисах теряется различие между ковариантными и контравариантными координатами и соответственно индексами, которые их нумеруют:

(354)

а все геометрические соотношения будут точно такими же, как и в обычном 3-х мерном пространстве, только лишь число координат будет равно .

Иная ситуация наблюдается в вещественных псевдоевклидовых пространствах, для которых, как уже отмечалось, может быть как положительным, так и отрицательным. В таких пространствах выбрать обычным образом ортонормированный базис нельзя, но можно выбрать ортогональных между собой векторов , таких, что часть из них (например, первые ) будут иметь квадрат длины, равный -1 (их называют мнимоединичными), а остальные соответственно - (). Количество мнимоединичных векторов не зависит от выбора конкретного базиса, а определяется геометрической структурой псевдоевклидового пространства. Число таких мнимоединичных векторов называется индексом (сигнатурой) пространства. может принимать одно из значений от 1 до и поэтому для заданного существует различных псевдоевклидовых пространств с различной сигнатурой.

В -мерном псевдоевклидовом пространстве индекса метрический тензор имеет структуру:

В силу структуры метрического тензора (355) различия между контравариантными и ковариантными координатами или векторами хотя и не исчезают, но становятся незначительными:

и тогда для скалярного произведения получаем:

49..

Теорема (9.9) о каноническом виде ортогонального преобразования

Для каждого ортогонального преобразования n-мерного евклидова пространства существует ортонормированный базис, в котором матрица преобразования имеет канонический вид:

На главной диагонали матрицы стоят либо числа 1 или (–1), либо блоки вида, а остальные элементы матрицы равны нулю.

Базис , в котором матрица преобразования имеет вид (9.20), называется каноническим. Заметим, что канонический базис определяется неоднозначно.

50..