Свойства. Множество всех билинейных форм , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.

Множество всех билинейных форм , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.

Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.

При выбранном базисе в любая билинейная форма однозначно определяется матрицей

так что для любых векторов и

то есть

Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.

Размерность пространства есть .

Несмотря на то, что матрица билинейной формы зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы . Билинейная форма называется невырожденной, если ее ранг равен .

Для любого подпространства ортогональное дополнение является подпространством .

, где — ранг билинейной формы .

55..

Матрица

элементы b_ij которой определены с помощью соотношений (7.4), называется матрицей билинейной формы В(х, у) в данном базисе е.

56.. Определение квадратичной формы

Квадратичная форма переменных - функция

- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают тогда

Если переменные принимают действительные значения и квадратичная форма называется действительной.

Матричная запись квадратичной формы

Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если

Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.

В пространстве квадратичную форму можно записать в виде где X - координатный столбец вектора

В пространстве квадаратичную форму можно представить в виде где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.

57..