Их к каноническому виду

Квадратичной формой от переменных называется симметрический однородный многочлен второй степени от этих переменных

, (3)

где .

Если ввести матрицу из коэффициентов квадратичной формы (3)

и матрицу-столбец из переменных

,

то, пользуясь правилом умножения матриц, квадратичную форму (3) можно записать в матричном виде

.

Привести квадратичную форму (9.8) к каноническому виду - значит представить ее следующим образом:

. (4)

Матрица В, соответствующая квадратичной форме (4), диагональна.

Так как матрица симметрическая вещественная, задача приведения к каноническому виду квадратичной формы (3) сводится к задаче приведения к диагональному виду матрицы симметрического линейного преобразования с помощью ортогональной матрицы (ортогонального преобразования).

Корни характеристического уравнения матрицы называют характеристическими числами квадратичной формы (3), а направления собственных векторов, соответствующих характеристическим числам, главными направлениями квадратичной формы.

58..

Квадратичные формы

Квадратичной формой от переменных является выражение вида

,

т.е. сумма, каждым слагаемым которой является либо квадрат одной переменной, либо произведение двух разных переменных, взятое с некоторым числовым коэффициентом. Коэффициенты квадратичной формы удобно записать в виде квадратной матрицы , причем предполагается равенство (так как ). Таким образом, матрица квадратичной формы является симметрической, т.е. удовлетворяет условию .

Пример. Составить матрицу квадратичной формы

.

Коэффициент при квадрате переменной запишем на месте , а коэффициент при произведении следует разделить на два и записать на симметричных местах и :

.

Нетрудно проверить, что квадратичную форму можно записать при помощи умножения матриц:

;

вводя обозначения , , запишем

.

Квадратичная форма имеет канонический вид, если коэффициенты при произведениях разных переменных равны нулю, т.е.

.

Ясно, что матрица такой квадратичной формы – диагональная.

Теорема. Любая квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием переменных может быть приведена к каноническому виду.

Пример.Привести к каноническому виду квадратичную форму

.

Выделим полные квадраты:

где , .

Существует несколько методов приведения квадратичной формы к каноническому виду. Выделение полных квадратов (или метод Лагранжа) – наиболее простой из них. При решении геометрических задач используются только линейные преобразования, которые сохраняют длины векторов и углы между ними. Такие преобразования называются ортогональными. Если квадратичная форма приведена к каноническому виду ортогональным преобразованием неизвестных, то полученный канонический вид:

,

где – собственные значения матрицы квадратичной формы. При этом замена переменных записывается при помощи отыскания ортонормированного базиса из собственных векторов.

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любого ненулевого набора квадратичная форма принимает только положительное значение, . Канонический вид квадратичной формы имеет положительные коэффициенты при квадратах переменных. Если для любого , то квадратичная форма называется отрицательно определенной. Сформулируем условия знакоопределенности квадратичной формы.

Теорема (критерий Сильвестра).Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы положительны:

, , …, .

Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров ее матрицы чередуются, начиная с минуса: , и т.д.

59..

Теорема Лагранжа

Теорема. Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка , что

(13)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке , а на его концах принимает одинаковые значения:

Тогда удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка , в которой производная функции равна нулю:

Следствие 1. В частном случае, когда , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка , в которой производная функции равна нулю: . Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Следствие 2. Если во всех точках некоторого промежутка , то в этом промежутке.
Действительно, пусть и – произвольные точки промежутка и . Применяя теорему Лагранжа к промежутку , получим

Однако во всех точках промежутка . Тогда

Учитывая произвольность точек и , получаем требуемое утверждение.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа. Разностное отношение в правой части формулы (13) есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки и , а производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в некоторой средней точке промежутка . Поэтому за теоремой Лагранжа закрепилось название “теорема о среднем”.

Рис. 6. Теорема Лагранжа устанавливает условия существования хотя бы одной точки c, в которой касательная к графику функции параллельна секущей AB. Таких точек может быть несколько.

Физическая интерпретацию теоремы Лагранжа. Пусть функция описывает смещение частицы из начального положения в зависимости от времени x ее движения по прямой. Тогда разностное отношение

представляет собой среднюю скорость движения частицы за промежуток времени , а производная – мгновенную скорость движения частицы в момент времени c. Существует такой момент времени, в который мгновенная скорость движения равна средней скорости.
Отметим, что формула (13) сохраняет свою справедливость и при b < a. Если применить теорему Лагранжа к промежутку и представить значение c в виде

где то формула (13) примет вид

(14)

Равенство (14) дает точное значение для приращения функции при конечном значении приращения аргумента и называется формулой конечных приращений. Единственным недостатком этой замечательной формулы является присутствие в ней неопределенного числа θ.

60..