Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

Определение. Квадратичной формой или квадратичной функцией на линейном пространстве называется функция k, значение которой на любом векторе x определяется равенством k (x)= b (x, x), где b – симметричная билинейная функция.

При приведении квадратичной формы к диагональному виду (каноническому виду) можно воспользоваться методом выделения квадратов (методом Лагранжа). Покажем его на примере. Пусть задана квадратичная форма

k(x)=

Заметив, что коэффициент при отличен от нуля, соберем вместе все члены, содержащие :

Дополним выражение в квадратных скобках до квадрата суммы, прибавив и вычтя :

Теперь k (x)= + k '(x) - где k’ – квадратичная форма, значение которой зависит только от и :

k '(x) =

К ней можно применить тот же прием:

k '(x) =

Итак,

k (x) =

Где