Класифікація поверхонь

Рис. 9.4.

Для зручності вивчення поверхні розділяють на класи. Розглянемо деякі з них.

Лінійчаті поверхні. Лінійчатими поверхнями називаються поверхні, які утворюються рухом прямої лінії.

Поверхні обертання. Поверхнею обертання називається поверхня, яка утворюється при обертанні якої-небудь лінії навколо нерухомої осі.

Гвинтові поверхні. Гвинтова поверхня описується при гвинтовому русі якої-небудь лінії (твірної). Найпростішими і такими, що широко використовуються в техніці і архітектурі є поверхні з прямолінійною твірною. Такі поверхні називаються гелікоїдами.

Топографічні і каркасні поверхні. Топографічною поверхнею називається поверхня, утворення якої не підлягає якому-небудь геометричному закону. Прикладом такої поверхні є поверхня земної кори – горби, яри, гори і т.п.

Поверхні другого порядку. Поверхнями другого порядку називаються алгебраїчні поверхні, які описуються в декартових координатах рівняннями другого ступеня.

9.2.1. Многогранні поверхні

Якщо площини, що утворюють гранну поверхню, замикають простір з усіх боків, то вони формують замкнений многогранник. На рис. 9.4 а показано тетраедр, чотирма гранями якого є рівносторонні (правильні) трикутники, а на рис 9.4 б – гексаедр, або куб, шістьма гранями якого є квадрати

9.2.2. Лінійчасті поверхні

Рис. 9.5.

Рис. 9.6.

Самою загальною поверхнею такого класу є поверхня з трьома криволінійними напрямними. Відсік такої поверхні зображений на рис. 9.5, напрямними якої є три криві а, b і с, а твірною – пряма l, яка у всіх своїх положеннях перетинає вказані криві.

Рис. 9.7.

Одним з різновидів лінійчатих поверхонь є поверхні з двома напрямними і площиною паралелізму. На рис. 9.6 зображена така поверхня. Криві а і b є напрямними, а l – твірною. Всі твірні даної поверхні паралельні площині паралелізму Σ.

9.2.3. Каркасні поверхні

Каркасні поверхні мають декілька сімейств ліній, що більш точно описує ту або іншу поверхню. У такий спосіб задають поверхні складних конструкцій і деталей машин, таких як корпуси судів, лопаток турбін, обшивки літальних апаратів і ін.

9.2.4. Каналові та циклічні поверхні

Рис. 9.8.

На рис. 9.8 представлена поверхня даного вигляду, при цьому, крива l є напрямною руху центрів кіл.

Якщо площина кола при її русі залишається перпендикулярною до напрямної l, то описувану поверхню називають канальною, а у разі постійності радіуса вказаного кола – трубчастою.

9.2.5. Гвинтові поверхні

Найпростішими і такими, що широко використовуються в техніці і архітектурі є поверхні з прямолінійною твірною. Такі поверхні називаються гелікоїдами.

Напрямними гвинтовій поверхні є гвинтова лінія і її вісь. На рис. 9.9 зображений прямий гелікоїд, у якого твірні перпендикулярні до осі і. Така поверхня широко використовується в шнековых елеваторах, гвинтових пресах, є робочою поверхнею гребних гвинтів, пропелерів, а також є напрямною гвинтових сходів будівельних конструкцій і споруд.

Рис. 9.9.

Найпростішими і такими, що широко використовуються в техніці і архітектурі є поверхні з прямолінійною твірною. Такі поверхні називаються гелікоїдами.

Напрямними гвинтовій поверхні є гвинтова лінія і її вісь. На рис. 9.9 зображений прямий гелікоїд, у якого твірні перпендикулярні до осі і. Така поверхня широко використовується в шнекових елеваторах, гвинтових пресах, є робочою поверхнею гребних гвинтів, пропелерів, а також є напрямною гвинтових сходів будівельних конструкцій і споруд.

Рис. 9.10. Рис. 9.11.

9.2.6. Поверхні обертання

На рис. 9.10 зображена поверхня обертання, яка задана криволінійною твірною l і віссю обертання і. Кожна точка твірної при обертанні описує кола, площини яких перпендикулярні до осі обертання. Ці кола називаються паралелями. Найбільша паралель називається екватором, а якнайменша – горлом поверхні.

Лінія перетину поверхні площиною, що проходить через її вісь, називається меридіаном. Меридіани, паралельні площинам проекцій, є головними меридіанами і вони одночасно зображують обриси поверхні обертання. Так, твірні l і l' є фронтальним обрисом поверхні (рис. 9.10, 9.11).

При зображенні поверхні обертання на комплексному кресленні її вісь обертання розташовують перпендикулярно до однієї з площин проекцій, тоді всі паралелі поверхні проецюються на цю площину (в нашому випадку на П₁) у дійсну величину. При цьому горло і екватор будуть горизонтальними обрисами поверхні обертання.

На площини проекцій, які паралельні осі, паралелі поверхні проецюються в прямі лінії. Ця властивість паралелей дозволяє визначати будь-яку точку на поверхні обертання.

Нехай задана на видимій стороні поверхні обертання фронтальна проекція А₂ точки А (рис. 9.10). Необхідно побудувати горизонтальну проекцію А₁ вказаної точки з умови належності її поверхні.

Точка належить поверхні, якщо вона розташована на якій-небудь лінії даної поверхні.

Через А₂ проводимо паралель (пряму) т(т₂) перпендикулярно до осі і. Визначаємо радіус R отриманого кола (паралелі) і будуємо його горизонтальну проекцію т₁, а потім за належністю точки А до вказаної паралелі знаходимо її горизонтальну проекцію А₁.

До числа поверхонь обертання належать добре відомі зі шкільного курсу стереометрії циліндр, конус, сфера, а також і інші криві поверхні другого порядку.

Ще однією характерною поверхнею обертання є тор, який утворюється обертанням кола навколо прямої (осі) і, що лежить в її площині, але не проходить через центр. При цьому, якщо вісь і не перетинає коло, то тор називається відкритим або кільцем (рис. 9.11),

9.2.7. Поверхні другого порядку

Розглянемо поверхні другого порядку. На рис. 9.12а зображений тривісний еліпсоїд, обрисами якого є три різні еліпси.

Параболоїд обертання – поверхня, утворена обертанням параболи навколо її осі (рис. 9.12б).

Наступними поверхнями другого порядку є гіперболоїди. На рис. 9.12в зображений однопорожнинний гіперболоїд обертання, який утворюється при обертанні гіперболи навколо її уявної осі. Дана поверхня є лінійчатою і містить два сімейства прямолінійних твірних. Прямі а і b є одна пара прямих цього сімейства.

Двопорожнинний гіперболоїд обертання зображений на рис. 2.12г, поверхня якого утворюється при обертанні гіперболи навколо її дійсної осі.

Останньою поверхнею другого порядку є гіперболічний параболоїд (рис. 9.12д), він же коса площина (рис. 9.12е).

Рис. 9.12.