Способи обертання навколо прямих ліній.

Рис. 7.5.

Для розв’язання цієї задачі треба послідовно виконати дві заміни площин проекцій (рис. 7.5) за схемою: П₄ ^ П₁ і П₄ ^ АВС; П₅ ^ П₄ і П₅ ê ê АВС.

Першою заміною перетворюємо площину загального положення АВС в площину проецюючу (див. задачу 7.1), одержимо її проекцію на площині П₄ (відрізок В₄А₄С₄). Другою заміною перетворюємо площину АВС в площину рівня. Для цього вводимо додаткову площину П₅ паралельно площині АВС і перпендикулярно до площини проекцій П_4.

Щоб одержати проекцію площини АВС, на площині П₅ відкладаємо від осі , яку проведено паралельно В₄А₄С₄, відстані точок А, В, і С до додаткової площини проекції П₄. Проекція А₅В₅С₅ дорівнює дійсній величині трикутника АВС, а кут між відрізком і віссю дорывнюэкуту нахилу площини до площини проекцій .

7.3.1. Спосіб обертання навколо проецюючих прямих

Розглянемо поворот точки А на кут α навколо осі і, перпендикулярної до горизонтальної площини проекції П₁ (рис. 7.6).

Площина обертання Γ точки А, що перпендикулярна до осі і, є площиною горизонтального рівня, її фронтальна проекція Γ ₂ – лінія, яка паралельна осі . Горизонтальна проекція А₁ точки А переміщується по колу з радіусом R (радіус обертання), який проецюється на площину П₁ без спотворення. Фронтальна проекція А₂ при цьому переміщується по фронтальній проекції Г₂ площини обертання Г. Після повороту точки А на кут α вона займе положення А' (А'₂, А'₁).

Процес обертання точки А на епюрі показано на рис. 7.7.

Рис. 7.6. Рис. 7.7.

Задача 7.4. Знайти дійсну величину відрізка AB способом обертання навколо горизонтально-проецюючої прямої (рис. 7.8).

Вісь обертання (горизонтально проецюючу пряму і) проведено крізь точку А. Тоді точка А буде нерухомою, бо знаходиться на осі обертання, а точка В буде рухатися по колу з радіусом R в площині горизонтального рівня Г. Поворот здійснюється до моменту, коли відрізок АВ стане паралельним площині П₂ (горизонтальна проекція А₁В'₁ паралельна осі ), тоді його фронтальна проекція А₂В'₂ – буде дійсною величиною, а кут α є кутом нахилу цього відрізка до площини П₁.

Рис. 7.8. Рис. 7.9.

Задача 7.5. Визначити кут нахилу площини до площини проекцій (рис. 7.9).

Для визначення куту нахилу обертаємо площину навколо вісі , яку проводимо в площині . Найменша відстань від вісі обертання до горизонтального сліду є відрізок - радіус обертання . Після повороту точка розташується на вісі , площина займе положення фронтально-проецюючої, а кут між фронтальним слідом і віссю і є шуканим кутом нахилу.

7.3.2. Спосіб плоскопаралельного переміщення

Рис. 7.10.

Розглянемо цей спосіб на прикладі переміщення прямої загального положення АВ (рис. 7.10).

Нехай треба визначити дійсну величину відрізка прямої АВ. Для цього виконаємо його переміщення, наприклад, відносно площини проекцій П₁ до положення, паралельного площині П₂. При такому переміщенні точки А і В будуть рухатись в площинах горизонтального рівня Г і Г', фронтальні проекції яких Г₂ і Г'₂ паралельні осі . Коли відрізок АВ стане паралельним фронтальній площині проекцій П₂, його нова горизонтальна проекція А'₁В'₁ займе положення, паралельне осі . При такому переміщенні горизонтальна проекція цієї прямої свій розмір не змінює

Рис. 7.11.

(А₁В₁=А'₁В'₁), бо нахил цієї прямої до площини П₁ залишається незмінним. Тоді нова фронтальна проекція А'₂В'₂ буде дорівнювати дійсній величині прямої АВ, а кут α є кутом її нахилу до площини П₁.

Задача 7.6. Знайти дійсну величину відрізка AB (рис. 7.11).

Для цього виконуємо наступні побудови. Горизонтальну проекцію А₁В₁, не змінюючи її величини (А₁В₁=А'₁В'₁), розташуємо довільно, але паралельно осі . З фронтальних проекцій А₂ і В₂ проводимо прямі, паралельні осі до їх перетину з вертикальними лініями зв’язку, проведеними з А'₁ і В'₁. Одержимо фронтальну проекцію А'₂В'₂, яка і є дійсною величиною відрізка АВ.

Задача 7.7. Знайти дійсну величину трикутника ABC (рис. 7.12).

Рис. 7.12.

Двома послідовними переміщеннями перетворюємо площину загального положення АВС в площину горизонтального рівня. Першим переміщенням перетворюємо цю площину у фронтально-проецюючу, тобто перпендикулярну до Π ₂. Для такого перетворення будуємо в площині АВС горизонталь h і переміщуємо її разом з площиною в положення, коли вона стане перпендикулярною до площини П₂. Тоді трикутник АВС теж стане перпендикулярним до цієї площини.

На кресленні виконуємо наступні побудови (рис. 7.12).

Нову горизонтальну проекцію А'₁В'₁С'₁ розташуємо довільно, але так, щоб проекція h'₁ була перпендикулярною до осі . При цьому форма і розміри переміщеної горизонтальної проекції повинні залишатися незмінними, тобто А₁В₁С₁=А'₁В'₁С'₁. Точки А, В і С переміщуються в площинах горизонтального рівня, їх фронтальні проекції відповідно Г₂, Г'₂ і Г" ₂. Отримуємо нову фронтальну проекцію площини АВС – відрізок А'₂В'₂С'₂. Кут α є кутом нахилу площини АВС до площини П₁. Тепер можна другим переміщенням перетворити цю площину в площину горизонтального рівня. Для цього її фронтальну проекцію розташуємо паралельно осі ( || ). Точки А, В і С рухаються в площинах фронтального рівня, їх горизонтальні проекції відповідно Σ ₁, Σ '₁, Σ " ₁. Отримана проекція є дійсною величиною трикутника АВС.

7.3.4. Спосіб обертання навколо прямих рівня

Рис. 7.13.

Обертання навколо лінії рівня використовують головним чином в тих випадках, коли плоску фігуру треба перевести в положення паралельне якійсь площині проекцій, тобто визначити її дійсну величину.

Розглянемо цей спосіб на прикладі обертання точки А навколо прямої горизонтального рівня h, розташованій в площині П₁ до її суміщення з цією площиною (рис. 7.13).

Точка А переміщується по колу з радіусом R і центром О, яке розташоване в горизонтально-проецюючій площині Σ (Σ ^ h).

Повернемо точку А (напрямок повороту показаний стрілкою) до її суміщення з горизонтальною площиною проекцій П₁. Після повороту точка займе положення А' ≡ А'₁. Це нове положення точки А на горизонтальній проекції Σ ₁ площини обертання Σ і буде розташоване на відстані ОА = О₁А'₁ від центру обертання, яка дорівнює радіусу R.

Таким чином, для розв’язання цієї задачі на епюрі достатньо визначити дійсну величину радіуса обертання R точки А (рис. 7.13). Це можна зробити за допомогою способу прямокутного трикутника. Гіпотенуза О₁ ' є дійсною величиною радіуса R, яку відкладаємо від О₁ на горизонтальній проекції Σ ₁ площини Σ і одержуємо А'₁ – суміщене положення точки А. Її фронтальна проекція А'₂ буде розташована на h₂.

Задача 7.8. Знайти дійсну величину трикутника ABC (рис. 7.14).

Рис. 7.14.

Обертання здійснюється навколо горизонталі h, яку проведено крізь точки 1 і A, які будуть нерухомими, бо розташовані на осі обертання. Точки B і C обертаються в горизонтально-проецюючих площинах Σ і Σ ', що перпендикулярні до осі обертання h. Поворот трикутника АВС здійснюється до положення, коли його площина стане паралельною горизонтальній площині проекцій П₁.

Для розв’язання задачі знаходимо дійсну величину радіуса обертання однієї з рухомих точок, наприклад, точки В, як це розглянуто вище. Після повороту горизонтальна проекція точки В займе нове положення В'₁. Для побудови нового положення горизонтальної проекції C'₁ точки C проведено горизонтальну проекцію C'₁В'₁ сторони CВ крізь точку 1₁, яка є нерухомою, до перетину з Σ '₁ (горизонтальна проекція площини, в якій рухається ця точка). Одержана проекція А'₁В'₁С'₁ буде дійсною величиною площини АВС.

КРИВІ ЛІНІЇ (на самостійне вивчення)