Взаємне розташування прямої і площини

По відношенню до площини пряма може займати такі положення:

- пряма може належати площині;

- пряма може перетинати площину;

- пряма може бути паралельна площині.

5.1.1. Перетин прямої з площиною

Задача 5.1. Побудувати точку перетину прямої загального положення з проецюючою площиною (рис 5.1).

Рис. 5.1.

Задані фронтально-проецююча Σ і пряма загального положення l. Треба визначити точку перетину цієї прямої з площиною Σ. Нехай це буде точка . Так як ця точка одночасно належить прямій l і площині Σ, а сама площина проецюється на площину проекцій у вигляді прямої , яка є її фронтальним слідом, то розв’язання цієї задачі зводиться до визначення точки перетину фронтальної проекції площини Σ з фронтальною проекцією прямої l. Таким чином, знайдено фронтальну проекцію К₂ точки К. Її горизонтальна проекція К₁ визначається за належністю точки К до прямої l.

Слід зауважити, що частина горизонтальної проекції ліворуч від точки перетину невидима, якщо вважати проецюючу площину непрозорою.

Задача 5.2. Побудувати лінію перетину площини загального положення з проецюючою площиною (рис 5.2).

Рис. 5.2.

Задані площина загального положення АВС і фронтально-проецююча площина Σ. Щоб знайти їх лінію перетину, треба визначити дві спільні точки, які належать цим площинам.

Знайдемо, наприклад, точки 1 і 2, в яких площина Σ перетинає сторони АВ і АС трикутника АВС, їх фронтальні проекції 1₂ і 2₂.

Горизонтальні проекції 1₁ і 2₁ цих точок знаходяться за належністю їх до відповідних прямих трикутника АВС. Якщо сполучити ці точки, одержимо горизонтальну проекцію l₁ шуканої лінії перетину l.

Слід підкреслити, що фронтальна проекція l₂ цієї лінії співпадає з фронтальною проекцією площини Σ (Σ ₂≡ l₂).

Слід зауважити, що частина горизонтальної проекції трикутника з вершиною невидима, якщо вважати проецюючу площину непрозорою.

5.1.2. Побудова точки перетину прямої загального положення з площиною загального положення (рис. 5.3-5.5).

Рис. 5.3. Рис. 5.4. Рис.5.5.

План рішення задачі:

1. Через пряму l проводимо допоміжну горизонтально-проецюючу площину Σ (така площина називається площиною посередником).

2. Будуємо лінію перетину площини Σ з площиною АВС.

3. Знаходимо точку перетину К даної прямої l з побудованою лінією перетину MN, яка і буде точкою перетину прямої з площиною.

Задачі 5.3., 5.4. Побудувати точки перетину наданих прямих з площинами загального положення (рис. 5.6., 5.7.)

Через пряму l проводимо горизонтально-проецюючу площину посередник Σ, її горизонтальна проекція Σ ₁ буде співпадати з горизонтальною проекцією l₁ прямої l, а також з горизонтальною проекцією n₁ лінії перетину n площини Σ з площиною АВС (Σ ₁≡ l₁≡ n₁). Фронтальна проекція n₂ цієї лінії будується за допомогою точок 1 і 2, які належать сторонам АС і ВС трикутника АВС. Далі знаходимо точку перетину фронтальних проекцій l₂ та n₂ прямих l і n, яка і буде фронтальною проекцією К₂ шуканої точки К. Якщо провести через К₂ вертикальну лінію зв’язку, то на перетині її з горизонтальною проекцією l₁, одержимо горизонтальну проекцію К₁ точки К.

Тепер, якщо вважати площину АВС непрозорою, виникає питання видимості прямої l відносно цієї площини. Видимість визначається за допомогою конкуруючих точок.

Спочатку визначимо видимість на горизонтальній площині проекцій. Для цього розглянемо горизонтально-конкуруючі точки 2 і 3, які знаходяться на стороні ВС і прямій l відповідно, їх горизонтальні проекції співпадають 2₁≡ 3₁. Побудуємо їх фронтальні проекції 2₂ і 3₂. Тепер видно, що координата Z точки 2 більше ніж координата Z точки 3, точка 2 знаходиться вище точки 3, тому на площині П₁ вона буде видимою, а точка 3 – невидимою. Напрямок погляду на рис. 5.6 позначений стрілкою – на П₁. Оскільки точка 2 належить стороні ВС, то вона в цьому місці знаходиться вище прямої l відносно площини П₁. А це означає, що в цьому місці пряма l закрита трикутником АВС до точки їх перетину К (частина її проекції – К₁3₁) і тому невидима. Ця частина проекції прямої зображена штриховою лінією. Ліворуч від точки перетину К пряма l видима і тому ця проекція зображена суцільною лінією.

Тепер визначимо видимість на фронтальній проекції за допомогою фронтально-конкуруючих точок 4 і 5, які розташовані відповідно на прямій l і стороні ВA (їх фронтальні проекції співпадають (4₂ 5₂)). Координата Y точки 4 більше координати точки 5, тому вона буде ближче до глядача (якщо дивитись на площину П₂, на рис. 5.6 позначено стрілкою – на П₂) і буде видимою, а точка 5 – невидимою. А так як точка 4 належить l, то вона знаходиться ближче до глядача в цьому місці ніж сторона AC відносно площини П₂. З цього випливає висновок, що в цьому місці пряма l видима до точки перетину з площиною ABC (частина проекції К₂4₂). Праворуч від точки перетину К пряма l невидима (рис. 5.6).

На рис. 5.7 знайдена точка перетину прямої l з площиною загального положення, яка задана слідами . Точка перетину К прямої l з площиною знайдена за допомогою фронтально-проецюючої площини Σ, яка проведена через цю пряму. Подальші побудови такі, як і в попередній задачі.

Рис. 5.6. Рис. 5.7.

5.1.3. Паралельність прямої та площини

Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна будь-якій прямій, що належить цій площині.

Задача 5.5. Крізь точку D провести пряму, що паралельна площині, яка задана трикутником ABC. (рис. 5.8).

Рис. 5.8.

Оскільки сторони трикутника є прямими, які належать цій площині, то достатньо через точку D провести пряму, яка буде паралельна будь-якій стороні цього трикутника. На рис. 5.8 побудована пряма l, яка паралельна стороні АС (l₂ || А₂С₂, а l₁ || А₁С₁, як проекції паралельних прямих) і тому вона паралельна площині АВС.

Задача 5.6. Побудувати пряму, яка паралельна одночасно площині трикутника ABC та площині проекцій (рис. 5.9).

Рис. 5.9.

Пряма, паралельна до площини проекцій є прямою фронтального рівня. Таму достатньо крізь будь-яку точку простору провести пряму, паралельну до фронталі, яка належить трикутнику . Проводимо в трикутнику фронталь . Для цього крізь довільну точку на горизонтальній проекції (наприклад точку ) проводимо лінію паралельно до вісі , знаходимо відповідну фронтальну проекцію і проводимо лінію паралельну до побудованої крізь довільно вибрану точку .