Головні лінії площини

В площині може бути нескінченна кількість довільно розташованих прямих ліній. Але серед цих прямих є такі, що займають окреме положення відносно площин проекцій. До них відносять лінії рівня та лінії найбільшого нахилу, що належать площині. Такі лінії називають головними лініями площини.

6.2.1. Лінії рівня площини

Лініями рівня площини називають лінії, що праралельні площинам проекцій і належать цій площині.

Задача 6.1. В площині трикутника ABC побудувати лінії рівня: горизонталь – h, фронталь – f і профільну пряму – p. (рис. 6.2)

Рис. 6.2.

Спочатку необхідно побудувати горизонталь. На фронтальній проекції трикутника проводимо лінію паралельну вісі . Розташування лінії довільне. В нашому випадку лінію проведено крізь вершину до перетину з стороною в точці . Це буде фронтальна проекція горизонталі . Горизонтальну проекція горизонталі будуємо відповідно її належності до трикутника крізь точку та . Фронтальну та профільну прямі ми будуємо за аналогією.

6.2.2. Лінії найбільшого нахилу площини

Лініями найбільшого нахилу називаються лінії, які належать площині та перпендикулярні до її лінії рівня. Вони будуть також перпендикулярні відповідним слідам площини.

Рис. 6.3.

На рис. 6.3 показані лінії найбільшого нахилу АВ і AС площини S. АВ – це лінія найбільшого нахилу цієї площини до площини проекцій П₁, вона перпендикулярна до горизонтального сліду h₁. АС – лінія найбільшого нахилу площини S до площини П₂, вона перпендикулярна до фронтально сліду f₂.

Таким чином, лініями найбільшого нахилу можна назвати лінії, які розташовані найбільш круто до площин проекцій. Геометрично це лінії площини, які утворюють найбільший кут з площинами проекцій.

Тому цим кутом (лінійним) і вимірюють кут нахилу заданих площин до площин проекцій.

Задачі 6.2., 6.3. Визначити кути нахилу площин, наданих на рис. 6.4, 6.5 відповідно до площин проекцій , .

Рис. 6.4. Рис. 6.5.

Для визначення кута нахилу площини, яка задана трикутником до площини проекцій треба в цій площині побудувати лінію найбільшого нахилу до площини та за допомогою правила прямокутного трикутника знайти кут нахилу цієї лінії до площини .

Алгоритм розв’язання задачі:

1. В площині будуємо лінію фронтального рівня.

2. Крізь фронтальну проекцію точки проводимо лінію перпендикулярно до фронтальної проекції фронталі до перетину з проекцією сторони - точка . Відрізок є фронтальна проекція лінії найбільшого нахилу до площини .

3. Відповідно належності цієї лінії площині находимо її горизонтальну проекцію .

4. Згідно правила прямокутного трикутника (див. 3.2.5, рис. 3.10б) на фронтальній проекції будуємо відповідний трикутник та визначаємо шуканий кут нахилу відрізка до площини . Цей кут і визначає кут нахилу площини трикутника до площини (рис. 6.4).

Визначення кута нахилу площини, яка задана слідами, до площини .

Алгоритм розв’язання задачі:

1. Вибираємо в площині довільну точку, наприклад .

2. З горизонтальної проекції цієї точки проводимо лінію, перпендикулярно до горизонтального сліда площини , де отримуємо точку перетину . Відрізок є горизонтальною проекцією лінії найбільшого нахилу (лінії скату) до площини .

3. Відповідно належності цієї лінії площині, що задана слідами, находимо її фронтальну проекцію .

4. Згідно правила прямокутного трикутника (див. задача 3.2.5, рис. 3.10а) будуємо відповідний трикутник та визначаємо шуканий кут нахилу відрізка до площини . Цей кут і визначає кут нахилу площини, що задана слідами, до площини (рис. 6.5).

6.2.3 Перпендикулярність прямої та площини

Пряма лінія перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна будь-яким двом прямим, що перетинаються і належать цій площині (рис. 6.6).

Рис. 6.6.

Задача 6.4. Крізь точку D провести перпендикуляр до даної площини (рис. 6.7).

Згідно теоремі про проеціювання прямого кута, проекції перпендикуляра до площини повинні бути перпендикулярні до відповідних проекцій ліній рівня цієї площини.

Рис. 6.7.

Пряма m (рис. 6.7) перпендикулярна лініям рівня h і f площини АВС, отже вона перпендикулярна і до самої площини, бо ці лінії визначають площину АВС як лінії, що перетинаються та їй належать. Таким чином, у перпендикуляра до площини його горизонтальна проекція перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі , фронтальна проекція перпендикулярна до фронтальної проекції фронталі .

Задачі 6.5., 6.6. Визначити відстані від точок D і L відповідно до даних площин (рис. 6.8, 6.9).

Рис. 6.8. Рис. 6.9.

Задача 6.5.

Будуємо лінії рівня площини АВС h і f. З точки D проводимо перпендикуляр до цієї площини згідно з правилами, розглянутими вище. Знаходимо точку перетину перпендикуляра з площиною (точка К), використовуючи горизонтально - проецюючу площину Σ, яку проведено через перпендикуляр.

Далі, способом прямокутного трикутника, визначаємо дійсну величину перпендикуляра DК, яка і буде відстанню від точки D до площини АВС.

Задача 6.6.

У випадку, коли площина задана слідами, горизонтальна проекція перпендикуляру перпендикулярна до її горизонтального сліду, фронтальна – до її фронтального сліду, а профільна – відповідно до профільного сліду цієї площини.

Рис. 6.10.

На рис. 6.9 показано визначення відстані від точки А до площини, яка задана слідами. Розв’язання цієї задачі значно спрощується, бо відпадає необхідність в побудові лінії рівня. Фронтальну проекцію перпендикуляра проведено перпендикулярно до фронтального сліду f₂, а горизонтальну – перпендикулярно горизонтальному сліду h₁. Подальші побудови такі, як і в попередній задачі.

6.2.4. Перпендикулярність двох площин

Дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них проходить через перпендикуляр до другої (рис. 6.10).

Задача 6.7., 6.8. Крізь точки D і L провести площини, що перпендикулярні даним (рис. 6.11, 6.12).

Рис. 6.11. Рис. 6.12.

Задача 6.7.

Взято довільну точку D (рис. 6.11) і з неї на площину проведено перпендикуляр m. Далі через точку D проведено довільну пряму n, яка разом з перпендикуляром (як прямі, що перетинаються) утворюють шукану площину Σ.

Задача 6.8.

Для побудови площини, перпендикулярної до площини, що задана прямими і , які перетинаються (рис. 6.12), необхідно, як і у попередній задачі, в цій площині побудувати лінії рівня і , а далі в повній відповідності до попереднього рішення.

6.2.5. Перпендикулярність двох прямих

Рис. 6.13.

Так як прямий кут між двома прямими загального положення спотворюється при проеціюванні його на площині проекцій, то розв’язання цієї задачі зводиться до побудови прямої, перпендикулярної до площини. Отже, при цьому використовується твердження: якщо дві прямі перпендикулярні одна до одної, то через кожну з них можна провести площину, перпендикулярну до другої прямої (рис.6.13).

Рис. 6.13. Рис. 6.14.

Задача 6.9. Визначити відстань між точкою А та прямою l.

Нехай треба визначити відстань від точки А до прямої l (рис. 6.14). Спочатку проведемо через точку А площину Ф, що перпендикулярна до прямої l. Її утворюють дві лінії рівня f ∩ h, які проходять крізь цю точку (, ). Далі, за допомогою фронтально-проецюючої площини Σ, яку проведено крізь , знаходимо точку перетину Κ прямої l з площиною Ф. Якщо сполучити точку А з побудованою точкою K, одержимо перпендикуляр від точки А до прямої l (відрізок ). За допомогою правила прямокутного трикутника знаходимо його дійсну величину, яка і буде шуканою відстанню від точки А до прямої l.