Спосіб заміни площин проекцій

Суть цього способу полягає в тому, що просторове розташування заданих фігур залишається незмінним, а змінюється розміщення системи площин проекцій, на якій будуються нові проекції фігур. Додаткові площини проекцій вводяться так, щоб відносно них фігури були розташовані зручно, тобто щоб її елементи були паралельні або перпендикулярні до них, при цьому площини проекцій П₁, П₂ і П₃ звуться основними площинами проекцій. Нову площину проекцій вводять таким чином, щоб вона була перпендикулярною до однієї з основних, тому вона фактично замінює одну з них, а з другою утворює вже нову систему взаємно перпендикулярних площин проекцій.

Рис. 7.1. Рис.7.2.

Перетворення проекцій геометричної фігури, виконаної за допомогою способу заміни площин проекцій, пов’язано з перетворенням проекцій точок, які належать даній фігурі.

Розглянемо, які зміни зазнають проекції окремої точки при переході від однієї системи ортогональних проекцій до другої. На рис. 7.1 показана точка А, що задана в системі площин проекцій . Введемо нову площину П₄ так, щоб вона була перпендикулярна до площини П₁ і побудуємо на ній проекцію точки А. Для цього через цю точку проведемо проецюючий промінь, перпендикулярно до площини П₄ і до перетину з нею, одержимо проекцію точки А на площині П₄ (точка А₄ рис. 7.1).

Площина П₁ та П₄ – нова система площин проекцій, а лінія їх перетину – нова вісь проекцій. Горизонтальна площина проекцій П₁ є загальною для “старої” та “нової” систем. Таким чином, ми фактично виконали заміну фронтальної площини П₂ на нову фронтальну площину П₄, при цьому координата Z точки А залишилась незмінною.

Дивлячись на рис. 7.1 можна побачити, що відстань від нової фронтальної проекції А₄ до нової осі дорівнює відстань від заміненої проекції А₂ до осі , тобто дорівнює координаті Z точки А.

Для отримання епюра повертаємо площину П₄ навколо осі до суміщення с площиною П₁, при цьому проекція А₄ буде знаходитись на перпендикулярі А₁А₄ до нової осі , а горизонтальна проекція А₁ залишається незмінною (рис. 10.2). Слід мати на увазі, що площина П₁ при суміщенні з площиною П₂ може обертатись навколо осі тільки вниз, а площина П₄ навколо осі як за, так і проти годинникової стрілки (рис.7.1).

7.2.1. Основні задачі перетворення креслення

Різноманітні задачі, які розв’язують способом заміни площин проекцій, можна звести до чотирьох основних задач перетворення креслення:

1. Перетворення прямої загального положення в пряму рівня.

2. Перетворення прямої загального положення в проецюючу пряму.

3. Перетворення площини загального положення в проецюючу.

4. Перетворення площини загального положення в площину рівня.

Рис. 7.3.

Задача 7.1. Визначити дійсну величину відрізка AB. (рис. 7.3).

Спочатку знайдемо дійсну величину відрізка на площині проекцій . Для цього проведемо нову вісь проекцій паралельно та на деякій відстані від горизонтальної проекції відрізка . Далі з кінців цього відрізка (точок і ) проводимо лінії зв’язку перпендикулярно до вісі . Далі по лініям зв’язку від вісі відкладаємо висоти цих точок – відстані та відповідно. З’єднуємо побудовані точки та . Відрізок є дійсна величина.

Так само можна знайти дійсну величину на площині проекцій , проводячи нову вісь паралельно і відкладаючи глибини та по відповідних лініям зв’язку від вісі у площині проекцій .

Рис. 7.4.

Задача 7.2. Визначити дійсну величину двогранного кута (рис. 7.4).

Перетворимо ребро АС в проецюючу пряму. Для цього достатньо однієї заміни площин проекцій, оскільки це ребро є прямою горизонтального рівня. На додаткову площину проекцій П₄ ребро АС проецюється в точку А₄ º С₄, а грані – в лінії В₄А₄ і А₄D₄, тобто утворюється лінійний кут α, яким і вимірюється величина двогранного кута.

Задача 7.3. Визначити кут нахилу площини трикутника ABC до площини проекцій та його дійсну величину. (рис. 7.5).