Частотні критерії стійкості

Частотні критерії стійкості належать до графоаналітичних методів. Стійкість системи оцінюється за характером годографа частотної характеристики. Перевагою цього методу є його наочність і можливість експериментального визначення частотних характеристик як для окремих ланок, так і для всієї САР. Це дуже важливо тоді, коли важко скласти диференціальні рівняння для окремих ланок системи.

Слід зазначити, що методика визначення стійкості за частотними критеріями справедлива для САР з розподіленими й зосередженими параметрами, а також для систем із запізнювальними ланками. Практично легко можна користуватися частотними критеріями для визначення стійкості систем якого завгодно високого порядку.

У 1938 році радянський учений А.В.Михайлов запропонував частотний критерій стійкості. Ґрунтується цей метод на взаємозв'язку між характером перехідних процесів, які виникають при порушенні рівноваги системи, й амплітудою та фазою вимушених коливань, що встановлюються в системі під впливом синусоїдальної збурюючої дії.

Критерій Михайлова оснований на використанні характеристичного рівняння системи. Для цього в характеристичне рівняння системи:

підставляють і одержують вираз годографа Михайлова:

.

Очевидно, що отриманий многочлен має як дійсну, так і уявну частини:

,

де - дійсна частина комплексного виразу;

- уявна частина комплексного виразу.

Змінюючи значення частоти від до , обчислюють значення координат кінця вектора - і та будують його годограф на комплексній площині (замітимо, що при ). З'єднавши відповідні точки, дістанемо криву, яка називається годографом Михайлова. Одержаний годограф дозволяє судити про стійкість системи.

Критерій Михайлова формулюється так: САР стійка, якщо годограф Михайлова для неї при зміні частоти від нуля до нескінченості послідовно проходить проти стрілки годинника через n квадрантів комплексної площини ніде не перетворюючись у нуль (n - степінь характеристичного рівняння САР)

Приклад:

1. Записуємо операторне рівняння 2р³ + 5р² + 2р + 3 = 0

2. Проводимо підстановку

де - кутова частота;

- уявна одиниця, ,

;

.

3.Виділяємо дійсну і уявну частини:

- дійсна частина;

- уявна частина.

4.Для побудови точок на комплексній площині надаємо частоті значень від до . Результати розрахунків заносимо до таблиці:

Таблиця 1

, с-1		0, 5	0, 77	0, 9	1, 0	2, 0
		1, 75		-1, 05	-2	-17
		0, 75	0, 62	0, 16		-12

5. За результатами розрахунків будуємо годограф Михайлова на комплексній площині рис. 2.24.

Рис.2.24. Побудова годографу до прикладу.

Для зменшення обчислень доцільно знаходити точки перетину з осями координат.

До графіка застосуємо правило Михайлова:

для того, щоб система була стійкою необхідно і достатньо. Щоби графік (годограф) починався на дійсній позитивній півосі і рухаючись проти годинникової стрілки ніде не перетворюючись в нуль послідовно і монотонно проходив кількість квадрантів відповідно степені характеристичного рівняння.

Так як виконуються всі умови правила Михайлова система буде стійкою.

Частотний критерій стійкості Найквіста дає змогу робити висновки про стійкість замкненої лінійної САР за видом амплітудно-фазової характеристики цієї самої системи в розімкненому стані.

Вперше у 1932 р. його сформулював американський учений Найквіст для дослідження підсилювачів з негативним зворотним зв'язком, а потім узагальнив і застосував Михайлов для дослідження стійкості АСР.

Для застосування частотного критерію Найквіста треба знати амплітудно-фазову характеристику розімкненої АСР, яку можна знайти як аналітично, так і за допомогою безпосереднього експерименту.

Аналітично амплітудно - фазову характеристику отримують з передаточної функції в операторній формі. Спочатку записують передаточну функцію в операторній формі, а з неї одержують частотну передаточну функцію (аналітичний запис амплітудно-фазової характеристики).

Наприклад, скориставшись передаточною функцією автоматичної системи:

,

можна написати частотну передаточну функцію, тобто:

.

Цей комплексний вираз ділять на дійсну і уявну частини:

.

Надаючи ω різних значень складають таблицю, за даними якої будують годограф у комплексній площині (рис. 2.25):

Рис. 2.25. Критерій Найквіста (амплітудно-фазові характеристики розімкненої системи): 1- стійкої; 2-на границі стійкості; 3-нестійкої

Критерій формулюється так: замкнена САР є стійкою, якщо амплітудно-фазова характеристика відповідної їй розімкненої системи не охоплює точку з координатами (-1, j0) на комплексній площині.

Контрольні питання і завдання

1. Поясніть поняття " стійкість автоматичної системи регулювання (CАР)".»

2. Що таке критерій стійкості?

3. Які критерії використовують для оцінки стійкості систем?

4. Чим відрізняється алгебраїчні критерії стійкості від частотних?

5. Сформулюйте критерії стійкості Гурвіца, Михайлова, Найквіста.