Типові динамічні ланки автоматичних систем

Для зручності дослідження динамічних властивостей САР їх складові частини замінюють елементарними лан­ками, кількість яких порівняно невелика. Кожна елемен­тарна ланка характеризується певним типом диференціаль­ного рівняння, що зв'язує вихідну і вхідну дії.

Проте не завжди один конструктивний елемент системи замінюють однією ланкою. Інколи в одну ланку можна об'єднати два чи три елементи автоматики, або, навпаки, один елемент замінити двома чи трьома елементарними лан­ками. В результаті такого поділу дістають структурну схему системи, ланки якої різняться не тим, які функції вони виконують, а лише характером перехідного про­цесу.

Розглянемо докладніше елементарні ланки, які зустрі­чаються найчастіше, і їх рівняння.

Безінерційна ланка (підсилювальна, пропорціональна ланка нульового порядку) — це найпростіша ланка САР. Перехідний процес у ній відбувається настільки швидко, що сталою часу можна знехтувати.

Залежність між вхідною (х _вх) і вихідною (х_вих) вели­чинами такої ланки описується алгебраїчним рівнянням:

; (13)

де k — коефіцієнт підсилення.

Щоб скласти рівняння такої ланки, досить визначити тільки коефіцієнт підсилення k. Рівняння динаміки цієї ланки відповідає його статичному рівнянню.

Рис. 2.5. Безінерційна ланка:

а —позначення на структурних схемах; б — динамічна характеристика; в — амплітудно-фазова характеристика.

На структурних схемах тип ланки позначають переда­точною функцією, яка вписується в умовне зображення ланки, наприклад W(p) = k (рис. 2.5, а).

На рис. 2.5, б показано характеристику безінерційної ланки, коли на її вхід подається дія одиничної функції х = 1(f). Амплітудно-фазова характеристика безінерцій­ної ланки — це відрізок прямої лінії, розміщений між початком координат і точкою k дійсної осі . Отже, (рис.2.5, в).

Якщо тривалість перехідного процесу однієї з ланок си­стеми дуже мала порівняно з тривалістю в інших ланках, таку ланку під час досліджень можна вважати безінерційною.

Прикладами таких ланок (рис. 63) можуть бути: важіль або редуктор (якщо вхідними й вихідними величинами вважати переміщення і знехтувати пружністю деталей та мертвим ходом); потенціометр; трансформатор (якщо вхідною івихідною величинами вважати амплітуди первинних і вторинних напруг та обмежитися досить повільними змі­нами амплітуди порівняно з періодом несучої частоти); електронна лампа тощо.

Рис. 2.6. Приклади безінерційних ланок:

а — важіль; б — редуктор; в — потенціометр; г —трансформатор; д — електронна лампа.

Аперіодична (інерційна) ланка, першого порядку — це ланка, що описується диференціальним рівнянням першого порядку, виду:

; (14)

або в операторній формі:

; (15)

де Т — стала часу ланки, с;

k — коефіцієнт підсилення (передаточний коефіцієнт) ланки.

Передаточна функція аперіодичної ланки має вигляд:

; (16)

Аналогічно тому, як це роблять для синусоїдального змінного струму в електротехніці, замінюючи на , одержимо вираз частотної передаточної функції

, (17)

тобто комплексне число, модуль якого дає підсилення (зміну) амплітуди, а аргумент — зміщення фази.

Графіки всіх трьох частотних характерис­тик подано на рис. 2.7, а, б, г.

Рис. 2.7. Характеристики аперіодичної ланки першого порядку:

а — амплітудно-частотна; б — фазочастотна; в — перехідна; г — амплі­тудно-фазова.

Наведені графіки показують, що із збільшенням частоти під­силення (передача) амплітуди А весь час зменшується і тим швидше, чим більша стала часу Т (це характеризує інерційність ланки). У результаті коефіцієнт підсилення (передачі) в динамічному процесі режимі завжди менший від статич­ного коефіцієнта k. Ця властивість характерна для всіх аперіодичних ланок. На низьких частотах, коли амплітуда А за значенням наближається до коефіцієнта підсилення k, ланка добре пропускає коливання, а на високих часто­тах — погано. Тому кожна ланка характеризується своєю смугою пропускання частот. Для аперіодичної ланки згідно з рис. 2.7 можна вважати, що смуга пропускання частот:

. (18)

Слід зазначити, що за виглядом частотної характе­ристики можна робити висновки про властивості перехід­ного процесу. Справді, тривалість перехідного процесу дорівнює приблизно 3Т. Ши­рина ж смуги пропускання частот обернено пропорціональна Т. Звідси випливає правило, яке є загальним для багатьох ланок і цілих си­стем: чим ширша на частот­ній характеристиці смуга пропускання частот, тим швидше затухає перехідний процес.

Часто трапляється, що передаточна функція ланки невідома, але є можливість експериментально знайти частотні характеристики цієї ланки. Тоді, якщо частотні ха­рактеристики будуть подібні зображеним на рис. 2.7, можна вважати, що ланка є аперіодичною, до того ж по характерних точках, показаних на рисунку, можна ви­значити коефіцієнт k і Т передаточної функції цієї ланки.

Приклади інерційних ланок:

а) контур з індуктивності та опору: вхідною величиною є напруга, а вихідною — струм; стала часу контура:

, (18)

до контурів такого типу належать, наприклад, керуючі обмотки магнітного або електромашинного підсилювачів;

б) електродвигуни постійного струму з незалежним збу­дженням і двофазні двигуни змінного струму при умові, що моментом навантаження можна знехтувати. Вхідною величиною є напруга живлення, а вихідною — частота обер­тання вала двигуна.

Інтегруюча ланка — це пристрій, у якому вихідна ве­личина пропорціональна інтегралові від вхідної величини за часом і визначається за таким рівнянням:

. (19)

Після перетворення:

, (20)

що й дає право називати таку ланку інтегруючою. Крім того, таку ланку іноді називають астатичною, або нейт­ральною.

Рис. 2.8. Характеристика інтегруючої ланки:

а — перехідна; б — амплітудно-частотна; в — амплітудно-фазова.

При подачі на вхід інтегруючої ланки постійного значення вхідної величини на виході ланки буде величина, яка зростає лінійно з часом (рис. 2.8, а).

Операційне рівняння ланки із рівняння 19:

. (21)

Передаточна функція інтегруючої ланки:

. (22)

Частотна передаточна функція:

. (23)

Прикладами конструктивного виконання інтегруючої ланки можуть бути: поршневий гідравлічний виконавчий двигун (де масою і силами тертя можна знехтувати), вхо­дом якого є кількість рідини, що подається в циліндр, а виходом — переміщення поршня; електричний мікродвигун (де можна знехтувати електромеханічною сталою часу), входом якого буде напруга живлення, а виходом — кут повороту вала ротора; бак, з якого насосом викачують воду з постійною витратою (тут вхідною величиною є при­плив рідини, а вихідною — рівень води) тощо. Схеми ін­тегруючих ланок наведені на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Приклади інтегруючих ланок:

а — електродвигун; б — гідравлічний виконавчий двигун; в — елект­рична схема з конденсатором.

Як уже зазначалося, інтегруючу ланку називають також астатичною, оскільки у цій ланці вихідна величина в уста­леному режимі не зв'язана однозначно із значенням ви­хідної величини. Для створення астатичної автоматичної системи регулювання потрібна наявність у ній інтегруючої ланки. Разом з тим слід пам'ятати, що наявність інтегрую­чої ланки не є достатньою ознакою того, що система регулювання є астатична.

Коливальна ланка описується рівнянням динаміки:

, (24)

в операторній формі:

, (25)

де і — сталі часу, які характеризують період і час затухання власних коливань ланки;

k — коефіцієнт підсилення (передачі) ланки.

Коливальна ланка характеризується тим, що при зміні вхідної величини (х) виникає коливальний характер зміни вихідної величини (у).

Передаточна функція і амплітудно-фазова характерис­тика коливальної ланки при визначаються за виразами:

, (26)

. (27)

Умовне зображення коливальної ланки, графік зміни вихідної величини у часі при вхідній дії типу оди­ничного стрибка і амплітудно-фазова характеристика по­казані на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Коливальна ланка:

а — умовне позначення в структурних схемах; б — перехідна характе­ристика; в — амплітудно-фазова характеристика.

Коливальну ланку можна розглядати як з'єднання двох ємностей, здатних запасати енергію або речовину і взаємно обмінюватися цими запасами.

При збуреннях, які порушують рівноважний стан ланки, виникають коливання. Якщо в результаті коливань енергія в ланці втрачається, то коливання затухають, а саму ланку називають стійкою. Якщо ж у процесі коли­вань запас енергії в ланці збільшується, амплітуда коли­вань зростає, а така ланка називається нестійкою.

Рівняння динаміки нестійкої коливальної ланки має такий вигляд:

. (28)

Якщо при коливаннях енергія в ланці не втрачається, таку ланку називають гармонічно-коливальною, або консер­вативною, ланкою.

Рівняння динаміки консервативної ланки аналогічне рівнянням (25) і (28) при Т₁ =0:

. (29)

Передаточна функція, амплітудно-фазова і перехідна характеристики для консервативної ланки відповідно такі:

, (30)

. (31)

Прикладами коливальних ланок можна назвати елект­ричне коло, яке складається з послідовно з'єднаних опору R, ємності С та індуктивності L; рухому систему вимірю­вального приладу із заспокоювачем; посудини, сполучені через гідравлічний опір; з'єднані між собою гідравлічний демпфер, пружину й масу тощо.

Аперіодична ланка другого порядку має рівняння дина­міки, аналогічне рівнянню коливальної ланки, тобто:

, (32)

але за умови, що .

Фізичний зміст цієї нерівності полягає в тому, що втрати енергії в ланці великі і коливання в ній не вини­кають.

Рис. 2.11. Характеристики аперіодичної ланки другого по­рядку: а — перехідна; б — амплітудно-фазова.

Перехідна й амплітудно-фазова характеристики такої ланки при вхідному збуренні, яке має вигляд одиничної функції, зображені на рис.2.11.

Рівняння передаточної функції і амплітудно-фазової характеристики аперіодичної ланки другого порядку за­писуються виразами (26, 27), як і для коливальної ланки.

Ідеальна диференціююча ланка. Аперіодична й інте­груюча ланки мають спільну властивість — згладжувати високочастотні зміни вхідної величини. З цією властивістю пов'язане те, що обидві ланки дають запізнення вихідної величини відносно вхідної (як уже зазначалося, зсув фаз у них від'ємний). Ланки, що мають властивість погано про­пускати високочастотні зміни вхідного сигналу, в теорії автоматичного регулювання називають фільтрами низьких частот. Слід зазначити, що сільськогосподарські уста­новки як об'єкти регулювання в основному належать до низькочастотних і навіть до інфранизькочастотних об'єк­тів, які добре пропускають вхідні керуючі сигнали порів­няно низьких частот.

Отже, досі ми розглядали ланки, які можна вважати фільтрами низьких частот (очевидно, підсилювальна ланка є частотно-незалежною, бо вона однаково реагує на коли­вання будь-яких частот).

Розглянемо ланки, які фільтрують високі частоти, тобто краще пропускають високі частоти, ніж низькі. Першим видом фільтрів високих частот є ідеальна диференціююча ланка, рівняння динаміки якої має такий вигляд:

. (33)

Рис. 2.12. Характеристики ідеальної диференціюючої ланки:

а — перехідна; б — амплітудно-частотна; в — фазо-частотна; г — амплітудно-фазова.

Побудуємо перехідну характеристику ідеальної ди­ференціюючої ланки. Для цього подамо на її вхід стрибком стале значення х_вх = const (рис. 2.12, а). Згідно з рівнянням на виході дістанемо у = 0, як при = 0, так і при =const, бо похідна сталої вели­чини завжди дорівнює нулю. І лише в момент зміни вхідної величини х_вк, тобто тільки у точці t = 0, похідна .Якщо стрибок миттєвий, значення похідної у точці t = 0 буде нескінченно великим і перехідна характеристика матиме вигляд миттєвого імпульсу, який змінюється від нуля до нескінченності і знову повертається до нуля (рис. 2.12, а). Щоб краще зрозуміти фізичний зміст ідеальної диференціюючої ланки, можна задати вхідну дію, що змінюється за законом синуса; тоді на виході дістанемо сигнал, що змінюється за за­коном косинуса (оскільки перша похідна від синуса дорівнює косинусу), який випереджатиме вхідний сигнал на кут 90°.

Передаточна функція ідеальної диференціюючої ланки:

. (34)

Амплітудно-фазова характеристика (частотна передаточна функція) ідеальної диферен­ціюючої ланки має вигляд:

. (34)

Звідси випливає, що зображення амплітудно-фазової характеристики такої ланки в комплексній площині (рис. 2.12, г) являє собою пряму лінію, що збігається з до­датною уявною віссю при зміні частоти від 0 до ( = 0 на початку координат).

Амплітудно-частотна характеристика (рис. 2.12, б) такої ланки

. (35)

Виходить, що амплітуда вихідних коливань диференціюючої ланки зростає із збільшенням частоти , прямуючи до нескін­ченності при .

Отже, диференціююча ланка найкраще пропускає висо­кочастотні коливання вхідної величини, тобто вона є фільт­ром високих частот. При =0 = 0, тобто сталу складову вхідного сигналу диференціююча ланка взагалі не пропускає. Цю властивість диференціюючих ланок широко використовують при побудові САР. Наприклад, у підсилювачах змінного струму, де треба уникнути пере­дачі сталої складової сигналу з одного каскаду на інший, зв'язок між каскадами здійснюється за допомогою дифе­ренціюючих ланок. Проте ця сама властивість не дає змоги використати в САР диференціюючі ланки без додат­кових конструктивних засобів, бо при ввімкненні диферен­ціюючої ланки в основну замкнену систему регулювання ця ланка в усталеному режимі не пропустить ніякого сиг­налу, тобто регулювальна дія не здійснюватиметься.

Фазочастотна характеристика ідеальної диференцію­ючої ланки має такий вигляд:

. (36)

Отже, на відміну від інерційних ланок, тут вихідна величина за фазою випереджає вхідну: зсув фаз (рис. 2.12, в) не залежить від частоти і дорівнює , тобто +90°.

З розглянутого бачимо, що всі характеристики дифе­ренціюючої ланки протилежні характеристикам інте­груючої. Звичайно, це зовсім не випадково і випливає з того, що передаточна функція диференціюючої ланки є величиною, оберненою до передаточної функції інте­груючої ланки. Інакше кажучи, якщо вхід і вихід в ін­тегруючій ланці поміняти місцями, то дістанемо диферен­ціюючу ланку. Наприклад, якщо в двигуні постійного струму вхідною величиною є напруга на якорі, а вихід­ною — кут повороту ротора, матимемо інтегруючу ланку. Якщо в цьому самому двигуні вхідною величиною буде кут повороту ротора (двигун приводитиметься в дію від будь-якого іншого пристрою), матимемо диференціюючу ланку (двигун відіграватиме роль тахогенератора).

Реальна диференціююча ланка. На практиці важко створити ідеальний диференціюючий пристрій, який без спотворення давав би похідну функцію згідно з її виразом, оскільки всякий реальний пристрій має деяку інерційність, що пояснюється наявністю певної сталої часу. У роз­глянутому прикладі з тахогенератором це означає, що він генерує напругу, не ідеально пропорціональну кутовійшвидкості , як за формулою (33), а з деяким спотворенням у вигляді інерційного запізнення, що харак­теризується сталою часу, Т:

. (37)

Це стосується також багатьох інших реальних диферен­ціюючих пристроїв різного типу. Так, для реальної дифе­ренціюючої ланки, яка складається з ємнісного й активного опорів (рис. 2.13, а), рівняння динаміки запишеться на під­ставі другого закону Кірхгофа у вигляді:

. (38)

У момент вмикання струм, що проходить по колу, за­безпечує заряджання конденсатора, причому струм . Цей струм також створює спад напруги на активному опорі . Тоді для струму можна записати таке рівняння:

. (38)

Рис. 2.13. Реальна диференціююча ланка: а — електрична схема; б — перехідна функція; в —ФЧХ; г — АЧХ, д — АФЧХ.

Помноживши на R і виконавши відповідні дії, діста­немо:

, (39)

або

. (40)

Розв'язавши це рівняння відносно , знайдемо вираз для перехідної характеристики:

. (41)

До реальних диференціюючих ланок належать, напри­клад, ще заспокоювач з пружиною у механічних системах, швидкісна термопара, в якій вихідна напруга пропорціональна швидкості зміни температури, тощо.

Рівняння динаміки для реальної диференіціюючої ланки в загальному вигляді записують так:

, (42)

в операторній формі:

, (43)

де k має розмірність часу.

Передаточна функція реальної диференціюючої ланки:

. (44)

Амплітудно-фазова характеристика (частотна передаточна функція) реальної диферен­ціюючої ланки має вигляд:

. (45)

Графіки частотних характеристик реальної диферен­ціюючої ланки зображені на рис. 2.13, в, г, д.

Запізнювальна ланка. На відміну від інерційного запіз­нювання, що спостерігається в деяких розглянутих ланках, у системах автоматичного керування є ланки, в яких треба враховувати так зване чисте, або транспортне, запізню­вання в часі (рис. 2.14), коли вихідна величина ідеально по­вторює вхідну, але з відставанням на певний відрізок часу (час запізнювання)

Фізично такій лан­ці відповідають ре­альні системи з роз­поділеними парамет­рами (трубопроводи, довгі лінії електропе­редачі, стрічкові транспортери), які дають так зване чис­те, або транспортне, запізнювання. Справ­ді, при зміні вхідної величини стрічкового транспортера, перш ніж почнеться зміна вихідної величини, повинен пройти час

де l — довжина транспортера,

v — швидкість його стрічки.

Рис. 2.14. Характеристики запізнювальної ланки:

а - перехідна; б — АЧХ; в — ФЧХ; г—АФЧХ.

.

Запізнювальна ланка описується алгебраїчним рівнян­ням, яке має такий вигляд:

. (46)

Передаточна функція ланки:

. (47)

Частотна передаточна функція ланки:

. (48)

Амплітудно-частотна характеристика запізнювальної ланки не залежить від частоти, оскільки

. (49)

Фазочастотна характеристика такої ланки

. (50)

Отже, фазочастотна характеристика запізнювальної ланки є прямою, що проходить через початок координат (рис. 2.14, в), тобто кут відставання вихідної величини зро­стає пропорціонально до частоти. Саме цим запізнювальна ланка відрізняється від усіх ланок, розглянутих раніше, в яких є гранична величина кута відставання або випере­джання за фазою. У запізнювальній ланці при збільшенні частоти кут зсуву фаз збільшується необмежено.

Амплітудно-фазова характеристика запізнювальної ланки зображається колом одиничного радіуса з центром на початку координат (рис. 2.14, г). При збільшенні частоти вектор амплітудно-фазової характеристики просто обер­тається проти стрілки годинника, але не змінюється за довжиною. При частоті = 0 вектор амплітудно-фазової характеристики розміщується вздовж додатної дійсної осі; при частотах і т. д.— поверта­ється до початкового положення.