Обратная матрица

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одинакового порядка, удовлетворяющие условию

где - единичная матрица того же порядка, то матрица называется обратной по отношению к матрице А и обозначается .

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы. Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

где - символ Кронекера.

Таким образом, получаем систему уравнений

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Пример. Дана матрица , найти . Имеем

Таким образом, .

При нахождении обратных матриц больших порядков применяют формулу

,

где - дополнительный минор элемента матрицы .

Пример. Дана матрица , найти . Имеем

;

Таким образом, .

Справедливы следующие свойства обратных матриц:

1) 2) 3)