Неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Если и - два решения системы , то вектор - решение приведенной однородной системы . Так как выражение

задает все решения однородной системы, то для любых двух решений и неоднородной системы справедливо равенство

и, следовательно, равенство

которое определяет любое решение неоднородной системы. Таким образом доказана теорема о структуре общего решения линейной неоднородной системы.

Теорема. Если ранг r матрицы неоднородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде

где - произвольные константы, а - фундаментальная система решений однородной системы, - некоторое известное (частное) решение неоднородной системы.

6. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений

относительно n неизвестных

Суть метода Гаусса состоит в том, что совместную систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных (определитель матрицы системы отличен от нуля)

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными преобразованиями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась диагональная матрица

В результате получаем решение системы