Системы линейных алгебраических уравнений

Ранее было получено выражение для общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений

Положим Тогда вектор

определяет решение исследуемой однородной системы. Аналогично определим

Теорема. Система из решений однородной системы линейно независима и что любое решение системы линейно выражается через векторы системы.

Из теоремы следует, что размерность подпространства решений линейной однородной системы равна .

Определение. Система из линейно независимых решений линейной однородной системы называется фундаментальной системой решений.

Фундаментальная система решений образует базис в подпространстве решений линейной однородной системы.

Определение. Общим решением линейной системы называется выражение, позволяющее вычислить все решения системы.

Таким образом, обобщив доказанные выше утверждения, можно сформулировать теорему о структуре общего решения линейной однородной системы.

Теорема. Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде

где - произвольные константы, а - фундаментальная система решений.