Однородных систем линейных алгебраических уравнений

Справедливы следующие утверждения:

1) в силу свойств определителей, элементарные преобразования не меняют ранга матрицы;

2) две линейные системы называются эквивалентными, если их множества решений совпадают;

3) после линейных преобразований матрицы линейной системы получается матрица системы, эквивалентной исходной системе.

Рассмотрим линейную систему

Если ранг матрицы системы равен то после гауссовых исключений получим для однородной системы

Соответствующая эквивалентная система имеет вид

Откуда получаем выражения для переменных через . Переменные называют базисными переменными, а переменные - свободными переменными. Перенося свободные переменные в правую часть, получим

-формулы, определяющие общее решение системы.

Положим последовательно значения свободных переменных равными

и вычислим соответствующие значения базисных переменных. Полученные решений

линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений исследуемой однородной системы.