Комплексные числа и действия над ними

Определение комплексного числа.

Основные понятия, связанные с комплексными числами

Рассмотрим уравнение

. (1.1)

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то среди действительных чисел не существует решения уравнения (1.1).

Расширим множество действительных чисел, присоединив к ним новый элемент - число , являющееся решением уравнения (1.1), т.е.

.

Потребуем, чтобы в это новое числовое множество входили также все элементы, получающиеся в результате операций сложения, вычитания, умножения, деления действительных чисел, числа i и чисел, возникающих при этих операциях, осуществляемых с соблюдением законов ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности (операции умножения относительно сложения).

Так как при любом натуральном

то произвольное число z полученного нового множества запишется в виде:

, (1.2)

где и - действительные числа. Число называется комплексным числом, число называется действительной частью комплексного числа z и обозначается (от фр. ree’l - действительный), а действительное число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается (от фр. Imaginaire - мнимый, воображаемый). Множество всех комплексных чисел обозначается буквой (от фр. complexe - комплексный, сложный).Действительное число

(1.3)

называется модулем комплексного числа.