Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Формула Муавра извлечения корня n-ой степени из комплексного числа
|
|
Из формулы (1.6) в частности следует
. (1.7)
Формула (1.7) называется формулой Муавра.
Следовательно, при возведении комплексного числа z в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени. Например, (1+ 
)100=(
)100·(
+ 
)=250(
+ 
)=-250.
При 
формула (1.7) принимает вид:
+ 
. (1.8)
Формула (1.8) позволяет выразить синусы и косинусы кратных j углов через синусы и косинусы угла j. Например, при n=3 получаем:
+ 
= 
=
= 
+3 
· 
-3 
· 
- 
.
Отсюда находим:
= -3 , =3 - .
Корнем степени 
из комплексного числа 
называется такое комплексное число
= 
(
+ 
),
-я степень которого равна z, т.е. 
. Имеем:
(
+ 
)= 
( + ).
Два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на 
, где 
. Получаем: = 
, 
, т.е.
= 
, (1.9)
причем, в силу периодичности функций 
и 
. В частности, если 
, т.е. , 
, формула (1.9) приводится к виду:
=1 ,
где
+ 
. (1.10)
Из (1.10) следует, что
.
Найдем, например, 
. Имеем: 
+ 
=1, 
+ 
=- 
+ 
, 
+ 
=- - .
Арифметический квадратный корень из неотрицательного действительного числа имеет единственное неотрицательное значение, тогда как квадратный корень из этого же числа, вычисленный по формуле (1.9) имеет в общем случае два значения: одно - положительное, а другое - отрицательное с тем же модулем. Например, 
и 
, так как 
.
6. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
Рассмотрим показательную функцию 
Можно показать, что функция 
может быть записана в виде
.
Данное равенство называется уравнением Эйлера. Для комплексных чисел следующие свойства
1) 
2) 
3) 
где m – целое число.
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число 
то получаем
.
Для комплексно – сопряженного числа получаем:
.
Из этих двух уравнений получаем:
Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.
Если представить комплексное число в тригонометрической форме: 
и воспользуемся формулой Эйлера 
:
.
Полученное равенство определяет показательную форму комплексного числа.