Алгоритм метода Гаусса

Прямой ход.

Рассмотрим расширенную матрицу системы

1 -й шаг. Предположим, что Если это не так, и переставим строки матрицы так, чтобы Это всегда возможно, т.к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна. Элемент называется ведущим элементом.

Умножим первую строку на число и прибавим ко второй строке, затем умножим первую строку на число и прибавим к третьей строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i -й строке, для

Получим на первом шаге

2 -й шаг. Предположим, что Если это не так, и переставим строки матрицы так, чтобы Ведущий элемент - Умножим вторую строку на число и прибавим к третьей строке, затем умножим вторую строку на число и прибавим к четвертой строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем вторую строку на число и прибавляем к i -й строке, для

Получим на втором шаге

k-й шаг. Предположим, что Если это не так, и переставим строки матрицы так, чтобы Ведущий элемент - Умножим k- ю строку на число и прибавим к i -й строке, для Выполнив -й шаг получим

Прямой ход закончен. Заметим, что все элементы на главной диагонали отличны от нуля.

Обратный ход

1- й шаг. Умножим последнюю строку на число и прибавим к предпоследней строке, затем умножим последнюю строку на число и прибавим к -й строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем последнюю строку на число и прибавляем к -й строке, для . Получим на первом шаге

k-й шаг. Умножим k- ю строку на число и прибавим к i -й строке, для Выполнив -й шаг получим:

Обратный ход закончен. Решение вычисляем по формулам