Действия над комплексными числами

Из прямоугольного треугольника находим:

, . (1.4)

Подставляя (1.4) в (1.2), получим:

.

Правая часть этой формулы называется тригонометрической формой комплексного числа . Из (1.4) находим:

откуда определяется аргумент комплексного числа , заданного в алгебраической форме.

Например, приведем к тригонометрической форме комплексное число . Имеем: , , . Следовательно, . Отсюда .

Пусть и , заданных в алгебраической форме. Тогда

.

Следовательно, сумма комплексных чисел интерпретируется на координатной плоскости суммой векторов и , определяющих эти числа. Имеем:

. (1.5)

Так как , , то формула (1.5) приводится к виду:

, (1.6)

т.е. при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Комплексные числа

называются сопряженными (друг другу). Имеем:

,

Действительно при делении одного комплексного числа на другое умножают числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:

следовательно,

.

Из доказанных формул следует, что комплексное число z тогда и только тогда является действительным (чисто мнимым), когда

.