Использование дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения широко используются при исследовании процессов в АС непрерывного действия, в особенности в системах нелинейных и в системах с переменными параметрами. Для линейных систем с постоянными параметрами развиты более удобные в практическом отношении частотные методы.

Метод составления дифференциального уравнения системы управления состоит в следующем. Для каждого элемента системы составляется дифференциальное уравнение. Получается система уравнений. Методом исключения промежуточных значений, пользуясь системой уравнений, находим в конечном итоге общее дифференциальное уравнение системы управления в виде .

Процедура исключения промежуточных переменных из системы дифференциальных уравнений достаточно трудоёмкая. Упрощение этой процедуры для линейных систем достигается применением передаточных функций. Пусть звено системы управления описывается дифференциальным уравнением (1.1)

, где m n. (1.1)

Обозначим - оператор дифференцирования,

тогда (1.2)

Обозначим ,

получим (1.3)

откуда (1.4)

где (1.5)

- передаточная функция, соответствующая дифференциальному уравнению (1.1).

Выражение (1.4) является лишь сокращённой операторной формой записи выражения (1.1).

Однако понятие передаточной функции с использованием алгебраизированного оператора дифференцирования и функции времени является нестрогим.

Строгое определение передаточной функции можно получить с использованием преобразования Лапласа и комплексной переменной .

Напомним, что взаимное соответствие между функцией времени x(t) и её изображением X(p) устанавливается с помощью прямого

или обратного

преобразований Лапласа и указывается знаком соответствия

x (t) X (p).

Функция X (p)называется изображением функции x (t) по Лапласу. Исходная функция x (t) по отношению к своему изображению X (p) является оригиналом. В дальнейшем оригинал будем обозначать маленькой (строчной) буквой, а его изображение – большой (прописной) буквой.

Отметим некоторые основные свойства преобразований Лапласа:

- Изображение по Лапласу постоянной величины К равно этой величине, делённой на p:

К .

- Умножение функции времени x(t) на постоянное число K соответствует умножению на это же число её изображения (свойство линейности):

.

- Изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций:

, где .

- Теорема дифференцирования (при нулевых начальных условиях):

.

- Теорема интегрирования:

.

- Умножение изображений (теорема свертки):

.

- Теорема запаздывания:

.

- Теорема смещения:

.

- Предельная теорема:

, .

Используем метод преобразования Лапласа для анализа систем управления.

Пусть дано дифференциальное уравнение линейной динамической системы, описываемое выражением (1.1):

, где m n.

Преобразуем по Лапласу левую и правую части этого уравнения.

Напомним, что если (1.6)

где - комплексная переменная, есть изображение по Лапласу функции времени , то изображение по Лапласу k-ой производной этой функции при нулевых начальных условиях имеет вид

Применив (1.6) к левой и правой частям (1.1), получим:

или откуда

(1.7)

В выражении (1.7) введено обозначение

(1.8)

(1.8) есть выражение искомой передаточной функции линейной динамической системы.

Таким образом, корректное с математической точки зрения определение передаточной функции можно сформулировать следующим образом.

Передаточной функцией динамической системы (отдельного её участка или звена) называется отношение изображения по Лапласу выходной величины системы (участка, звена) к изображению по Лапласу входной величины системы (участка, звена).

Как следует из выражений (1.1)…(1.8), передаточную функцию можно определить по известному дифференциальному уравнению. Для этого необходимо:

1. Записать (1.1) в операторной форме (1.2).

2. Заменить в (1.3) на , на по (1.6).

3. Написать выражение передаточной функции (1.8).

4. Найти изображение управляемой (выходной) величины, используя соотношение (1.7). Отметим, что в отличие от (1.4) выражение (1.7) не носит формального характера и является алгебраическим (а не символическим) соотношением, определяющим изображение через изображение .

5. Совершить обратный переход в область времени с помощью обратного преобразования Лапласа (1.9):

(1.9)

Практически обратное преобразование выполняют путём разложения на простейшие дроби с последующим использованием таблиц преобразований Лапласа [2, с. 320….321], [4, с. 427…428].

Преобразования Лапласа наиболее часто встречающихся функций приведены в таблице 1.1 [2, 4].

Таблица 1.1