Использование частотных передаточных функций

Частотные методы исследования АС основаны на рассмотрении установившейся реакции системы на гармоническое входное воздействие.

Частотные передаточные функции используются главным образом в задачах анализа автоматических систем. Для решения задач синтеза более удобен и получил широкое распространение метод логарифмических частотных характеристик.

Пусть динамическая система описывается дифференциальным уравнением (1.1):

, где m n.

Входное воздействие имеет вид: (1.17)

Установившийся процесс в системе описывается частным решением неоднородного уравнения (1.1). При нулевых начальных условиях оно имеет вид:

(1.18)

Подставляя (1.17) и (1.18) в (1.1) и учитывая, что получим ,

где (1.19)

- частотная передаточная функция динамической системы, которая является дробно-рациональной функцией переменной и формально может быть получена из передаточной функции (1.8) путём подстановки .

Формы записи частотной передаточной функции:

- алгебраическая форма; (1.20)

- показательная форма, (1.21)

где - АЧХ (амплитудно-частотная характеристика);

- ФЧХ (фазочастотная характеристика).

Графическое изображение: на комплексной плоскости или в полярных координатах (рис. 1.2).

	С учётом (1.21) можно (1.18) записать в виде: , отсюда (1.22)
Рис. 1.2. Графическое изображение АФХ

Таким образом, частотная передаточная характеристика динамической системы полностью определяет прохождение гармонического колебания через эту систему.

В случае произвольного (негармонического) входного воздействия х₁(t) частотная передаточная функция системы равна отношению изображений по Фурье выходной и входной величин этой системы.

Сделав преобразование Фурье, получим комплексные спектры функций и

где F - оператор преобразования Фурье. Учитывая, что уравнение (1.1) перепишем в виде:

откуда (1.23)

где совпадает с (1.19) и может быть формально получена из (1.8) путём подстановки .

Таким образом, частотную передаточную функцию динамического звена (системы) можно получить из передаточной функции этого звена (системы) путём простой замены p на jw.