Сплайн-интерполяции.

Помимо описанных методов, существуют и широко распространены на практике приближения функций с помощью СПЛАЙНОВ.

Обычно они применяются когда количество узлов n велико и применять формулу (2.1) невыгодно, а линейная интерполяция не дает желаемых результатов (например при решении задачи численного дифференцирования в узлах). В этом случае выбирают небольшое число К и на каждом отрезке [ X_i, X_i+1] строят свой многочлен степени К, следя за тем, чтобы в узлах Х_i разные многочлены " сшивались" гладким образом, например так, чтобы совпадали не только их значения, но и значения их первой, второй, (к-1)-ой производной. Получившаяся при этом функция является, как говорят, кусочно-полиномиальной и называется сплайном.

Контрольные вопросы:

1. Как ставится задача интерполяции?

2. Какие виды интерполяции вы знаете?

3. В чем суть и геометрический смысл линейной интерполяции?

4. Какова схема построения интерполяционного многочлена в форме Лагранжа?

5. Чему равна сумма вспомогательных многочленов Лагранжа?

6. Как выглядит оценка точности при интерполировании многочленом?

7. Что можно сказать об оценке погрешности при решении задачи интерполирования непрерывной функции, если не накладывать на нее никаких дополнительных ограничений?

8. Что такое сплайн-интерполяция и в чем ее суть?

Содержание лабораторной работы:

Предварительная работа.

1.Произвести вспомогательные выкладки для оценки погрешности в своем варианте.

2.Подготовить тексты программ линейной интерполяции и интерполяции по Лагранжу с оценкой погрешности.

Работа в лаборатории.

1.Ответить на вопросы контролирующей программы.

2.Ввести в ЭВМ и отладить программу для вычисления ответа при линейной интерполяции и интерполяции по Лагранжу с оценкой погрешности.

Протестировать программу линейной интерполяции для следующих данных:

Протестировать программу интерполяции по Лагранжу для следующих данных:

Ответы на экране показать преподавателю.

3.Исполнить программу для своего варианта и записать ответы.

4.Вычислить погрешности и записать результаты.

5.Сравнить точное значение погрешности и ее оценку.

6. (дополнительно). Составьте программу интерполяции функции с помощью кубических сплайнов. Сравните результаты ее работы (точность ответа, количество действий) с другими видами интерполяции на примере различных функций.

7.Оформить и сдать работу.

ОТЧЕТ должен содержать:

1.Название и цель работы, постановку конкретной задачи.

2.Тексты программ линейной интерполяции и интерполяции по Лагранжу с оценкой погрешности.

3.Вывод значения величины максимума модуля (n+1)-ой производной заданной функции.

4.Результаты исполнения программ, получившиеся точные значения погрешностей в обоих методах.

Варианты заданий.

Вариант 1

х @ 2, 5 у = ln (20 / (3x + 2)) Ответ: 0, 744

Вариант 2

х @ 2, 5 у = ln (15 / (4x + 3)) Ответ: 0, 143

Вариант 3

х @ 2, 5 у = ln (17 / (2x +7)) Ответ: 0, 348

Вариант 4

х @ 2, 5 y = ln (13 / (5x + 3)) Ответ: -0, 176

Вариант 5

x @ 4, 5 y = ln (20/(3*x+2)) Ответ: 0, 255

Вариант 6

x @ 4, 5 y = ln (15/(4*x+3)) Ответ: -0, 336

Вариант 7

x @ 4, 5 y = ln (17/(2*x+7)) Ответ: 0, 06

Вариант 8

x @ 4, 5 y = ln (13/(5*x+3)) Ответ: -0, 674

Вариант 9

x @ 6, 5 y = ln (20/(3*x+2)) Ответ: -0, 072

Вариант 10

x @ 6, 5 y = ln (15/(4*x+3)) Ответ: -0, 659

Вариант 11

x @ 6, 5 y = ln (17/(2*x+7)) Ответ: -0, 163

Вариант 12

x @ 6, 5 y = ln (13/(5*x+3)) Ответ: -1

Вариант 13

x @ 8, 5 y = ln (20/(3*x+2)) Ответ: -0, 318

Вариант 14

x @ 8, 5 y = ln (15/(4*x+3)) Ответ: 0, 903

Вариант 15

x @ 8, 5 y = ln (17/(2*x+7)) Ответ: -0, 345

Вариант 16

x @ 8, 5 y = ln (13/(5*x+3)) Ответ: -1, 253