Метод Пикара.

Напомним известные теоремы Пикара и Пеано о существовании и единственности решения данной задачи (задачи Коши).

Теорема ПЕАНО утверждает, что решение задачи Коши существует в некоторой окрестности точки Х_о, если функция f(x, Y) непрерывна в окрестности точки (X₀, Y₀).

Теорема ПИКАРА гласит, что если не только функция f(x, Y), но и ее частная производная f'_у(x, Y) также непрерывна в окрестности точки (Х₀, У₀), то решение задачи Коши единственно на некотором отрезке, содержащем точку Х₀.

Доказательство теоремы Пикара следует из общего принципа сжимающих отображений, оно весьма непросто, но обладает существенным преимуществом -оно конструктивно. Причем последовательность функций Y_n(x), которая строится в нем, сходится к решению равномерно на отрезке со скоростью геометрической прогрессии. В методе Пикара последовательность функций Y_n(x) строится по рекуррентной формуле:

при n= 0, 1, 2,...,

а за нулевое приближение берется константа Y₀: Y₀ (х)º Y₀.

Для того, чтобы стало понятно происхождение этой рекуррентной формулы, заметим, что интегральное уравнение

эквивалентно исходной задаче Коши, поскольку любая функция Y(х), являющаяся его решением, удовлетворяет начальному условию Y(Х_о)=Y_о и уравнению Y'(х)=f(x, Y(х)) и наоборот.

Вопрос: Почему это действительно так?

Пример 4.1 Применим метод Пикара для решения уравнения Y'=Y с начальным условием Y(0)=1. Такая задача эквивалентна поиску решения интегрального уравнения Y=1+ò Y(t)dt.

В качестве начального приближения берем функцию Y_о=1.

Тогда Y₁=1+ò Y_о(t)dt= 1+ò dt= 1+x.

Далее, Y₂= 1+ò Y₁(t)dt= 1+ò (1+t)dt= 1+x+x²/2.

Y₃= 1+ò Y₂(t)dt= 1+ò (1+t+t²/2)dt= 1+x+x²/2+x³/6.

Можно убедиться, что Y_n= 1+х+x²/2+... +xⁿ/n!.

Упражнение 4.1.Доказать последнее равенство строго, используя принцип математической индукции.

Упражнение 4.2.В примере 4.1 найти точное решение Y(Х) и оценить скорость равномерной сходимости Y_n(x) -> Y(Х) на отрезке [0, 1].

В целом, приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на 3 типа:

· аналитические, позволяющие получить приближенное решение Y(х) в виде формулы,

· графические, дающие возможность приближенного построения графика решения Y(х), т.е. интегральной кривой,

· численные, в результате применения которых получается таблица приближенных значений функции Y(х),

хотя такое деление и несколько условно.

Кроме метода Пикара, к аналитическим методам относится и

метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд,

на котором мы сейчас остановимся.

Напишем формальное разложение Y(Х) в ряд Тейлора в точке а:

В это равенство входят производные неизвестной функции Y(Х) в точке а, однако именно в этой точке, пользуясь условиями задачи, мы можем последовательно найти любое число производных и получить необходимое приближение решения. В общем виде это выглядит так: Y_о(а)=Y(а)= Y_о; Y'(а)=f(a, Y(a))= f(a, Y_o)

Дифференцируя данное нам уравнение по Х, получим

Y''(Х)=f'_х(x, Y(х))+f'_у(x, Y(х))*Y'(х), откуда Y''(а)= f'_х(а, Yо)+f'_у(a, Y_о)*f(a, Y_о).

Аналогично получается и значения третьей и дальнейших производных в точке а -дифференцируем нужное число раз исходное уравнение и подставляем полученные ранее значения производных в точке а.

Пример 4.2.Выпишем первые члены разложения в ряд функции Y(x), удовлетворяющей уравнению Y'=2хY и начальному условию Y(0)=1.

Ясно, что Y(0)=1 и Y’(0)=2*0*1= 0. Далее, Y''(х)=2Y+2х*Y'(х), откуда Y''(0)=2.

Y'''(х)=2 Y'(х)+2 Y'(х)+2х*Y''(х)= 4Y'(х)+2хY''(х), откуда Y'''(0)=0.

Y⁽⁴⁾(х)=4Y''(х)+2хY'''(х), откуда Y⁽⁴⁾(0)=6.

Получаем приближенное решение Y(х)»1+х²+0.5х⁴.

Упражнение 4.3.Пользуясь формулой Лейбница для нахождения n-ой производной произведения функций, написать разложение искомой в примере 4.2 функции в ряд Тейлора.

Упражнение 4.4.Найти точное решение в примере 4.2 и оценить качество приближения в примере 4.2 на отрезке [-0.5, 0.5].

Описанные выше методы не часто применяются на практике, поскольку в методе Пикара на каждом шаге приходится вычислять интеграл, что осложняет вычисления и ухудшает точность, а в методе разложения в ряд крайне сложно формализовать на любом из языков процесс нахождения производных высокого порядка, а при малом количестве членов разложения этот метод дает хорошее приближение лишь вблизи от точки а.

Среди ГРАФИЧЕСКИХ рассмотрим