Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Метод Симпсона.






Шаблон содержит 3 узла, которые расположены по краям и в середине отрезка [di, di+1]; интерполяционный многочлен имеет вторую степень. Геометрический смысл метода в том, что заменяем график функции на параболу, пересекающуюся с ним в концах и середине отрезка, а площадь криволинейной трапеции, соответственно, - на площадь под параболой.

Для того, чтобы вычислить значения весов мы произведем сдвиг отрезка длины h к началу координат (замена переменной, при которой интегралы от вспомогательных многочленов Лагранжа не изменяются) и будем считать, что узлы – Х0=-0.5h, X1=0, X2=0.5h. Тогда вспомогательные многочлены Лагранжа имеют вид:

Откуда, интегрируя по отрезку [-h/2, h/2], получаем:

Итак, формула для ШАБЛОНА метода Симпсона имеет вид:

Складывая получившиеся отрезках [di, di+1] результаты, имеем:

Упражнение 3.4.Написать на одном из языков программу численного интегрирования каждым из трех методов.

ПРИМЕР. Вычислим методом прямоугольников, трапеций и Симпсона при n=2 и сравним погрешности вычислений (точный ответ равен 6.4).

В методе ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ имеем: I»h(f(0+0.5h)+f(0+1.5h))=f(0.5)+f(1.5)=82/16.

При этом получаем погрешность 6.4 - 5.125 =1.275

В методе ТРАПЕЦИЙ имеем: I»h/2(f(0)+f(2))+h*f(0+h)=1/2*(0+16)+f(1)=8+1=9.

Погрешность получается равной 2.6.

В методе СИМПСОНА имеем: I»h/6(f(0)+f(2))+h/3*f(0+h)+2h/3*(f(0+0.5h)+f(0+1.5h)) =16/6+1/3+2/3(82/16)=3+41/12»6.417

Погрешность получается равной 6.417-6.4=0.017

На многих других примерах можно столь же наглядно убедиться, сколь велико преимущество метода Симпсона над методами прямоугольников и трапеций в смысле точности результата. В то же время организация вычислений весьма проста, что и обуславливает широкое применение на практике этого метода.

Теоретические оценки погрешности для представленных трех методов следующие:

для метода прямоугольников |r| £ M2*(b-a)*h2/24;

для метода трапеций |r| £ M2*(b-a)*h2/12;

для метода Симпсона |r| £ M4*(b-a)*h4/180.

, где М2 и М4 –соответственно максимумы модуля второй и четвертой производных интегрируемой функции на отрезке интегрирования. Однако в реальных задачах, как правило, бывает затруднительно или совсем невозможно пользоваться этими формулами, поскольку значение максимумов производных трудно, а порой и невозможно вычислить или даже оценить.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал