Метод двойного счета.

Задача 3.1. Доказать, что методы прямоугольников (с узлом в середине отрезка) и трапеций дают точный результат на всех линейных функциях, но не на всех квадратичных функциях, а метод Симпсона дает точный результат на всех многочленах третьей степени, но не четвертой.

Более коротко, принято говорить, что первые два метода являются методами второго порядка точности и погрешность r удовлетворяет соотношению |r|=О(h²), a метод Симпсона метод четвертого порядка точности, а его погрешность |r|=О(h⁴).

В частности, это означает, что при уменьшении шага h, например, в 5 раз точность первых двух методов должна улучшиться примерно в 25 раз, а метода Симпсона -в 625 раз.

Исходя их этих соображений, на практике применяют следующий метод слежения за точностью (который называют методом двойного счета): вычисляют ответы по методу Симпсона при n и 2n отрезках и за погрешность последнего ответа берут разность ответов, деленную на 15. Для пояснения данного правила полезно доказать следующее

Упражнение 3.4. Обозначим ответ, полученный при вычислениях интеграла по методу Симпсона при n шагах через I_n, а при 2n шагах -через I_2n, точный же ответ обозначим I. Доказать, что из неравенства |I_n-I|£ 16|I-I_2n| вытекает неравенство |I_n-I|£ 1/15*|I_n-I_2n|.

Упражнение 3.5. Сформулируйте и докажите метод двойного счета при оценке погрешности вычислений по методу трапеций.

Задача 3.2.Вывести шаблон и квадратурную формулу метода трапеций, если расположить узлы на отрезке [0, h] в точках 0.25h и 0.75h. Как связан получившийся метод и метод прямоугольников? Объясните эту связь геометрически.

Упражнение 3.6.Выведите шаблон квадратурной формулы с тремя узлами, расположенными на отрезке [0, h]

a) в точках h/4, h/2, 3h/4 б) в точках h/6, h/2, 5h/6.

Контрольные вопросы:

1.Что такое квадратурная формула? Что такое узлы и веса?

2.Какие квадратурные формулы Вы знаете? Каково их общее название?

3.Каковы общие принципы выбора весов и узлов?

4.Объясните способ выбора весов квадратурных формул.

5.Какова общая схема построения квадратурных формул?

6.Что такое шаблон квадратурной формулы?

7.Приведите шаблон формулы метода прямоугольников и саму формулу.

8.Приведите шаблон формулы метода трапеций и саму формулу.

9.Приведите шаблон формулы метода Симпсона и саму формулу.

10.Каков геометрический смысл шаблонов указанных формул?

11.Каков порядок точности указанных методов?

12.Что такое метод двойного счета?

Содержание лабораторной работы

Постановка задачи: С помощью ЭВМ вычислить интеграл функции на указанном отрезке методами прямоугольников, трапеций(n=50) и Симпсона(n=20 и n=40). Произвести оценку точности ответа методом двойного счета.

Порядок работы:

1. Ответить на вопросы контролирующей программы.

2. Ввести в ЭВМ и отладить программу для вычисления интеграла методами: прямоугольников, трапеций и Симпсона, проверить их на примере функции Y= exp(x) на отрезке [0, 1]. Показать ответы преподавателю.

3. Исполнить программу для своего варианта и записать ответы. Вариант задания берется из предыдущей темы (функция, которая написана под таблицей и пределы интегрирования – самое большое и самое маленькое числа в таблице).

4. Дополнить программу вычисления интеграла по формуле Симпсона так, чтобы по введенной точности e программа с помощью метода двойного счета выдавала результат с требуемой точностью.

5. Вычислить точное значение интеграла.

6. (дополнительно). Составьте программу вычисления интеграла для другого количества и расположения узлов в шаблоне (по выбору преподавателя).

7. (дополнительно). Составьте программу вычисления интеграла, если узлы и веса в шаблоне определяются по методу Гаусса. Сравните с результатами работы других методов точность расчетов при одинаковом количестве вычислений для различных функций.

8. Оформить и сдать работу.

ОТЧЕТ должен содержать:

1. название и цель работы;

2. тексты программ для всех трех методов;

3. ответы для своего варианта, точное значение погрешности;

4. теоретическую оценку точности ответа при решении методом Симпсона.