Методы Рунге-Кутта

Например, в одном из усовершенствований метода Эйлера, который также называют методом Рунге-Кутта второго порядка, переход осуществляют в два этапа по формулам:

Z_i = Y_i +h/2*f(X_i, Y_i) Y_i+1=Y_i+h*f(X_i+h/2, Z_i).

При этом получается погрешность порядка h².

А самый распространенный на практике метод - метод Рунге-Кутта четвертого порядка, в котором точность имеет порядок величины h⁴, а переход к следующей точке осуществляется с помощью четырех вспомогательных величин:

k1= h*f(X_i, Y_i)

k2= h*f(X_i+h/2, Y_i+k1/2)

k3= h*f(X_i+h/2, Y_i+k2/2)

k4= h*f(X_i+h, Y_i+k3)

После вычисления этих вспомогательных величин переход от точки (X_i, Y_i) к следующей точке осуществляется по формуле Y_i+1=Y_i+1/6*(k1+2k2+2k3+k4).

Упражнение 4.5. Выяснить геометрический смысл перехода к следующей точке по формулам усовершенствованного метода Эйлера.

Оценка точности в методах Рунге-Кутта второго и четвертого порядков на практике производится с помощью метода двойного счета, сформулированного в предыдущем параграфе.

Упражнение 4.6. Выписать и объяснить формулы оценки точности в методах Рунге-Кутта второго и четвертого порядков.

Поясним происхождение формул в методах Рунге-Кутта. Для получения закона вычисления значения Y(x) в каждой следующей точке поступают приблизительно так: выписывают разложение неизвестной функции в ряд Тейлора в точке X_i, как мы проделывали это выше, затем берут несколько первых членов этого разложения, и преобразуют полученную формулу Тейлора. После подставления X_i вместо переменной X и получают окончательное правило перехода к следующей точке.

Легко убедиться, что при выписывании разложения в ряд Тейлора только до линейного члена и подстановки значения X мы получим формулу метода Эйлера, т.е. и он является частным случаем общих методов Рунге-Кутта.

Пример 4.3. Применим формулы разобранных методов для нахождения значения функции Y(x) в точке 1, если эта функция удовлетворяет уравнению y'=y с начальным условием y(0)=1.

При решении методом Эйлера (n=2) имеем:

Y₁=Y₀+hf(X₀, Y₀)=1+0.5f(0, 1)=1.5, Y(b)=Y₂=Y₁+hf(X₁, Y₁)=1.5+0.5f(0.5, 1.5)=2.25.

При решении методом Рунге-Кутта 2-го порядка (n=1) имеем:

Z₀=Y₀+h/2*f(X₀, Y₀)=1+0.5f(0, 1)=1.5, Y(b)=Y₁=Y₀+hf(X₀+h/2, Z₀)=1+f(0.5, 1.5)=2.5.

При решении методом Рунге-Кутта 4-го порядка (n=1) имеем:

k1=h*f(X₀, Y₀)= 1*f(0, 1)= 1

k2=h*f(X₀+h/2, Y₀+k1/2)= 1*f(0.5, 1.5)= 1.5

k3=h*f(X₀+h/2, Y₀+k2/2)=1*f(0.5, 1.75)=1.75

k4=h*f(X₀+h, Y₀+k3)= 1*f(1, 2.75)=2.75

Y(b)=Y₁=Y₀+1/6*(k1+2k2+2k3+k4)=1+1/6*(1+3+3.5+2.75)=65/24

Упражнение 4.7. Найти точный ответ и сравнить погрешности, полученные при решении тремя различными методами.

Контрольные вопросы.

1. Какие типы приближенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений Вы знаете? Назовите по одному примеру каждого типа.

2. В чем суть метода Пикара? Объясните происхождение рекуррентной формулы метода.

3. В чем суть метода разложения функции Y(x) в ряд?

4. В чем суть метода Эйлера? Поясните графически.

5. Какова общая схема численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка?

6. Каков порядок точности при решении дифференциальных уравнений методами Эйлера, Рунге-Кутта второго и четвертого порядков?

7. Каким образом на практике следят за точностью при решении дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта второго и четвертого порядков? Обоснуйте этот способ.

Содержание лабораторной работы.

Постановка задачи: По заданному обыкновенному дифференциальному уравнению на фиксированном отрезке и значению искомой функции в левом конце определить значение в правом конце с требуемой точностью.

Предварительная работа.

1. Для своего уравнения найти дома точное решение в заданных точках.

2. Найти методом Пикара третье приближение к решению своего уравнения, подставить заданные точки и найти погрешность.

3. С помощью метода разложения в ряд найти для своей задачи ответы с точностью 0.01.

4. Нарисовать для своей задачи с помощью метода Эйлера 5 звеньев ломаной, дающей представление об интегральной кривой.

Порядок работы:

1.Ответить на вопросы контролирующей программы.

2.Ввести в ЭВМ и отладить программы для вычисления ответа тремя способами численного решения уравнений: методами Рунге-Кутта 1-го, 2-го и 4-го порядков. Отладку производить на уравнении y'=y с начальным условием y(0)=1 и правым концом отрезка, равным 1.

3.Исполнить программу для своего варианта и записать ответы.

4.Дополнить программу вычисления по формуле Рунге-Кутта 4-го порядка так, чтобы по введенному e она с помощью метода двойного счета выдавала результат с требуемой точностью.

5. (дополнительно). Составьте программу, которая для линейных дифференциальных уравнений первого порядка выписывает разложение решения задачи Коши в ряд и вычисляет решение в заданной точке с заданной точностью.

6. (дополнительно). Составьте программу графического сопровождения решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера.

7. (дополнительно). Составьте программу нахождения точного ответа (в одной указанной точке) для задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка.

8. Оформить и сдать работу.

ОТЧЕТ должен содержать

1. название и цель работы,

2. домашнее исследование своей задачи методами Пикара, Эйлера и разложения в ряд.

3. тексты программ для всех трех методов,

4. ответы для своего варианта, точное аналитическое решение задачи.

Варианты заданий. (e = 0.001)