Сведение поиска функций другого вида к поиску линейной функции.

При поиске функций другого вида (3-8) задача сводится к рассмотренной выше задаче нахождения наилучшей линейной функции. Для этого производится некоторая замена переменных, которая подбирается таким образом, чтобы вновь полученная задача свелась к нахождению линейной зависимости, а после применения описанной конструкции происходит обратная замена.

Рассмотрим на конкретных примерах, как это происходит.

При поиске, скажем, функции y=1/(ax+b) (вид 5) для сведения задачи к линейной мы производим замену t =1/y, после которой задача сводится к нахождению наилучшей линейной функции t=ax+b. А коэффициенты, найденные при ее решении и будут искомыми в первоначальной задаче. Тем самым, поиск наилучшей функции вида 5 надо осуществлять так:

1. заменяем в исходной таблице переменную Y на t, а все числа, записанные в нижней строке - на обратные

2. для получившейся таблицы находим линейную зависимость

3. получившиеся значения a и b берем без изменения.

Аналогичные действия мы производим при поиске наилучшей приближающей функции вида 6. Но замена, которую необходимо произвести для сведения к линейной задаче, в этом случае имеет вид u=ln(x). Итак, мы получим такое правило поиска наилучшей функции вида 6:

1. заменяем в исходной таблице переменную X на u, а все числа, записанные в верхней строке - на их логарифмы

2. для получившейся таблицы находим линейную зависимость

3. получившиеся значения a и b берем без изменения.

Упражнение 5.3. Провести подобные рассуждения и сформулировать способ решения задачи для функций вида 7.

Для того, чтобы найти наилучшую функцию вида 3, нужно прологарифмировать соотношение y=ахⁿ. При этом получится ln(Y)=ln(a)+n*ln(x), откуда и вытекает способ решения:

1. заменяем в исходной таблице переменную X на u=ln(X), переменную Y на t=ln(y), а все числа, записанные в таблице - на их логарифмы

2. для получившейся таблицы находим линейную зависимость

3. по получившимся значениям a и b находим нужные нам числа применяя формулы n=а, a=e^b.

Упражнение 5.4. Провести подобные рассуждения и сформулировать способ решения задачи для функций вида 4.

Упражнение 5.5. Провести подобные рассуждения и сформулировать способ решения задачи для функций вида 8.

Контрольные вопросы.

1. Какова общая постановка задачи нахождения эмпирических формул?

2. Каким образом можно оценивать качество приближения?

3. Каким образом графически можно интерпретировать постановку задачи нахождения эмпирических формул?

4.В чем сходство и различие постановки задачи метода наименьших квадратов и задачи интерполяции?

5. Какие виды приближающих функций обычно применяются?

6. В чем суть метода приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов линейной функцией?

7. Как сводится задача построения различных эмпирических формул к задаче нахождения линейной функции?

Содержание лабораторной работы.

Постановка задачи: По заданной таблице зависимости некоторой величины Y от аргумента X определить коэффициенты линейной функции (или функции другого вида), которая наилучшим образом отражает эту зависимость.

Порядок работы:

1.Ответить на вопросы контролирующей программы.

2.Ввести в ЭВМ и отладить программу для нахождения по заданной табличной зависимости наилучшей линейной приближающей функции. Проверить работу программы на контрольных примерах.

3. Дополнить программу нахождением наилучших приближающих функций всех перечисленных выше видов (за исключением квадратичной). Программа должна выдавать в каждом случае и сообщение о точности приближения. Протестировать программу на контрольных примерах.

3. (дополнительно). Выведите на бумажке формулы для нахождения наилучшей квадратичной приближающей функции и дополните свою программу соответствующей процедурой.

4. (дополнительно). Выведите на бумажке формулы для нахождения наилучшей линейной приближающей функции в случае функции от двух переменных и составьте соответствующую программу.

5. Исполнить программу для своего варианта и записать ответы.

6. Оформить и сдать работу.

ОТЧЕТ должен содержать

· название и цель работы,

· постановку задачи,

· текст программы для нахождения наилучшей линейной функции,

· ответ, а также способ сведения к поиску линейной функции для своего варианта.

Варианты заданий.

Вариант 1

Ответ: y @ 33x^-1

Вариант 2

Ответ: y @ 148x^-2

Вариант 3

Ответ: y @ 22020x^-3

Вариант 4

Ответ: у @ 33е^-х

Вариант 5

Ответ: у @ 148е^-2х

Вариант 6

Ответ: у @ 22020е^-3х

Вариант 7

Ответ: у @ 35 – 1/х

Вариант 8

Ответ: у @ 50 – 2/х

Вариант 9

Ответ: у @ 100 – 3/х

Вариант 10

Ответ: у @ х / (100х – 3)

Вариант 11

Ответ: у @ х / (35х – 1)

Вариант 12

Ответ: у @ х / (50х – 2)

Вариант 13

Ответ: у @ 3, 5 – lnx

Вариант 14

Ответ: у @ 5 – 2lnx

Вариант 15

Ответ: у @ 10 – 3lnx

Вариант 16

Ответ: у @ 1 / (35 – 4x)

Вариант 17

Ответ: у @ 1 / (50 – 2x)

Вариант 18

Ответ: у @ 1 / (100 – 3x)