Нисходящая трендовая линия

Нисходящая линия тренда (как вы уже, вероятно, догадались) наклонена правым концов вниз (а левым — вверх). Нисходящая трендовая линия образуется в результате соединения двух или более максимумов. При нанесении, каждый более поздний максимум должен обязательно быть ниже, чем все предыдущие максимумы.

Нисходящие линии тренда сравнивают с линиями сопротивления. Они означают, что предложение данного инструмента растет несмотря на падающую цену. Повыщенное предложение и падающая цена означают, что рынок очень негативно реагирует на данную ценную бумагу, и что продавцов намного больше, чем покупателей.

Пока цена находится под нисходящей линией тренда, данная трендовая линия считается прочной и непоколебимой. Пробой нисходящей линии тренда говорит о том, что отношение спроса и предложения изменилось и что, вероятно, изменение направления движения цены неизбежно.

Билет № 9

1. Нахождение решения СЛАУ с помощью элементарных преобразований. Примеры.

2. Пакет «Excel». Ввод данных в таблицу.

3. Задача.

Ответы.

1. Элементарными преобразованиями называются такие преобразования расширенной матрицы, которые не меняют множество решений системы. Знак элементарного преобразования: или ~.

1. перемена местами строк;

2. перемена местами столбцов с запоминанием какому неизвестному соответствует каждый столбец:;

3. умножение (деление) строки на число, отличное от нуля;

4. прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число;

5. вычеркивание одной из двух пропорциональных (в частности, равных) строк;

6. вычеркивание нулевой строки.

В тетради списать.!!!!

Билет № 10

1. Проблема собственных значений матрицы. Способ их нахождения.

2. Пакет «Excel». Подбор трендовых линий для эмпирических функций.

3. Задача.

Ответы.

1. Определение 1. Собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы называется такое число , что для некоторого ненулевого вектора имеет место равенство

Определение 2. Любой ненулевой вектор , удовлетворяющий этому равенству, называется собственным вектором матрицы , соответствующим (или принадлежащим) собственному значению .

Очевидно, что все собственные векторы матрицы определяются с точностью до числового множителя.

Ценность сведений о собственных значениях матрицы не вызывает сомнений. В самом деле, сходимость и скорость сходимости метода простой итерации, применяемого для приближенного решения системы линейных алгебраических уравнений

существенно зависят от величины максимального по модулю собственного значения матрицы (

Заметим, что задача нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы имеет значение не только как вспомогательная. Многие прикладные задачи физики, механики, астрономии, радиофизики приводят исследователя к проблеме определения нетривиального решения однородной системы линейных алгебраических уравнений вида (6.1) и тех значений числового параметра , при которых такое решение существует

Проблема собственных значений играет значительную роль во всех явлениях неустойчивых колебаний и вибраций, т.к. частота колебаний определяется собственными значениями некоторой матрицы, форму же этих колебаний указывают собственные векторы этой матрицы. Анализ собственных значений матриц является важной темой научно-технических исследований.

Условием существования нетривиального решения у системы (6.1) (или, что то же, , где – единичная матрица) является требование:

Обычно это уравнение называется характеристическим (или вековым) уравнением матрицы . Левая часть этого уравнения

(6.4)

называется характеристическим полиномом матрицы. Вместо полинома вида (6.4) рассматривают полином, отличающийся от характеристического множителем . Этот полином имеет вид

и обычно называется собственным многочленом матрицы. Собственные значения матрицы есть корни её собственного многочлена . Совокупность всех собственных значений матрицы , где каждое выписано столько раз, какова его кратность как корня , называется спектром этой матрицы.

Собственными числами матрицы являются корни уравнения

и только они.

Доказательство. Пусть столбец -- собственный вектор матрицы с собственным числом . Тогда, по определению, . Это равенство можно переписать в виде . Так как для единичной матрицы выполнено , то . По свойству матричного умножения и предыдущее равенство принимает вид

Допустим, что определитель матрицы отличен от нуля, . Тогда у этой матрицы существует обратная . Из равенства (19.4) получим, что , что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения .

Пусть -- корень уравнения . Тогда базисный минор матрицы не может совпадать с определителем матрицы и поэтому , -- порядок матрицы . Уравнение (19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными , являющимися элементами матрицы-столбца . По теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно , что больше нуля. Таким образом, система (19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы .

Определитель является многочленом степени от переменного , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится. Определение 19.5 Матрица называется характеристической матрицей матрицы , многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .

1. 2.

3. 4.

Подбором находим, что один корень уравнения равен . Есть теорема, которая говорит, что если число является корнем многочлена , то многочлен делится на разность , то есть , где -- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен должен делиться на . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель :

Находим корни трехчлена . Они равны и 3. Таким образом,

-- корень кратности 2 17.7 b, -- простой корень. Итак, собственные числа матрицы равны , . Найдем соответствующие им собственные векторы.

Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение

что соответствует системе уравнений

Выписываем расширенную матрицу системы

Первую строку, умноженную на числа и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

Меняем местами вторую и третью строки

Возвращаемся к системе уравнений

Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные и оставляем в левой части, а переменное переносим в правую часть

Полагаем , находим , . Итак, собственному числу соответствует собственный вектор .

Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение

что соответствует системе уравнений

Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу

Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей

Возвращаемся к системе уравнений

Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные и оставляем в левой части, а переменное переносим в правую часть

Полагаем , находим , . Итак, собственному числу соответствует собственный вектор . Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу соответствует собственный вектор .

Ответ: Собственные числа: , , соответствующие собственные векторы: , .

Билет № 11

1. Понятие матриц. Свойства матриц.
2. Понятие абсолютной и относительной погрешностей. Запись числа верными цифрами. Примеры.
3. Задача.

ОТВЕТЫ.

1.Матрицей размера m на n (записывается так m*n) называется совокупность m n вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i, j).

В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом:

- матрица A с элементами в позиции (i, j);

Элементы , где i=j, называются диагональными, а элементы , где - внедиагональными

. Совокупность диагональных элементов , где k = min (m, n), называется главной диагональю матрицы.

Свойства матриц.