Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если . Могут возникать следующие варианты:

· вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии

· пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии

· вырожденная парабола — при условии

o пара вещественных параллельных прямых — при условии

o одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии

o пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии

Билет № 13

1. Виды элементарных преобразований над матрицами. Понятие вектор-строка и вектор-столбец.

2. Определение аппроксимации. Сеточные функции.

3. Задача.

Ответы.

1. Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

4. Вычёркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю,

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

З а м е ч а н и я.

1) Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы;

2) матрицы, полученные одна из другой путём элементарных преобразований, называются эквивалентными (обозначаются A ~ В).

Чтобы вычислить ранг матрицы А, путём элементарных преобразований сводим её к ступенчатому виду (в частности к треугольному), выделяя наибольший минор, отличный от нуля.

Приведите матрицу к единичной с помощью преобразований Гаусса – Жордана.

Решение. Так как , а , то переставим местами первую и вторую строки матрицы, получим матрицу . Умножим все элементы первой строки матрицы на : . К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0, а к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-4):

Переходим ко второму столбцу. Элемент полученной матрицы уже равен единице, поэтому нет необходимости производить умножение элементов второй строки на . К элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :

Переходим к третьему столбцу. Умножим элементы третьей строки на : .

Единицы на главной диагонали матрицы получены, так что приступаем к обратному ходу.

К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на (-2), а к элементам первойстроки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на :

В последнем столбце необходимые нулевые элементы получены, переходим к предпоследнему (ко второму) столбцу.К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на : .

Так проведены все преобразования матрицы и получена единичная матрица.

Матрица размера 1× n называется строчной или вектор-строкой. Матрица размера n × 1 называется столбцевой или вектор-столбцом

4. Аппроксимация — приближенное решение сложной функции с помощью более простых, что резко ускоряет и упрощает решение задач.

Возможны следующие варианты функций: · Линейная - y=ax+b. Обычно применяется в простейших случаях, когда экспериментальные данные возрастают или убывают с постоянной скоростью.· Полиномиальная - y=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ, где до шестого порядка включительно (n? 6), a_i- константы. Используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов или минимумов) кривой. Полином второй степени можно описать только один максимум или минимум, полином третьей степени может иметь один или два экстремума, четвертой степени - не более трех экстремумов и т.д.· Логарифмическая - y=a·lnx+b, где a и b - константы, ln - функция натурального логарифма. Функция применяется для описания экспериментальных данных, которые вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются.· Степенная - y=b·x^a, где a и b - константы. Аппроксимация степенной функцией используется для экспериментальных данных с постоянно увеличивающейся (или убывающей) скоростью роста. Данные не должны иметь нулевых или отрицательных значений.· Экспоненциальная - y=b·e_ax, a и b - константы, e - основание натурального логарифма. Применяется для описания экспериментальных данных, которые быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются. Часто ее использование вытекает из теоретических соображений.((((Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией оценивается коэффициентом детерминации (R²). Таким образом, если есть несколько подходящих вариантов типов аппроксимирующих функций, можно выбрать функцию с большим коэффициентом детерминации (стремящимся к 1).)))

Приближение функции более простой функцией называется аппроксимацией (от латинского approximo – приближаюсь). Аппроксимирующую функцию строят таким образом, чтобы отклонения (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Понятие “малого отклонения” зависит от того, каким способом оценивается близость двух функций, поэтому оно будет уточняться в дальнейшем при рассмотрении конкретных методов аппроксимации.. Непрерывная аппроксимация. Если исходная функция задана аналитическим выражением, то при построении аппроксимирующей функции возможно требовать минимальности отклонения одной функции от другой на некотором непрерывном множестве точек, например, на отрезке . Такой вид аппроксимации называется непрерывным или интегральным.

Теоретически для наилучшего приближения целесообразно требовать, чтобы во всех точках некоторого отрезка отклонения аппроксимирующей функции от функции было по абсолютной величине меньше заданной величины : , .

В этом случае говорят, что функция равномерно приближает функцию с точностью e на интервале . Практическое получение равномерного приближение представляет большие трудности, и поэтому этот способ применяется главным образом в теоретических исследованиях.

Наиболее употребительным является так называемое среднеквадратичное приближение, для которого наименьшее значение имеет величина .Потребовав обращения в нуль частных производных от М по параметрам, определяющим функцию , получают уравнения, позволяющие найти наилучшие (в указанном смысле) значения этих параметров.

Точечная аппроксимация. Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек , называется точечной.

Для получения точечного среднеквадратичного приближения функции , заданной таблично, аппроксимирующую функцию строят из условия минимума величины , где – значения функции в точках .

Основная сфера применения среднеквадратичного приближения – обработка экспериментальных данных (построение эмпирических формул).. Другим видом точечной аппроксимации является интерполирование, при котором аппроксимирующая функция принимает в заданных точках , те же значения , что и функция , т.е. , .

В этом случае, близость интерполирующей функции к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.На рис. 4.1. показаны качественные графики интерполяционной функции (сплошная линия) и результаты среднеквадратичногоприближе­ния (пунктирная линия). Точками отмечены табличные значения функции .

Сеточная функция — это функция, заданная таблично.

Пусть дан отрезок [a, b]. Равномерной сеткой на этом отрезке назовем множество узлов w _h такое, что w _h = { x_j = jh, j=0,..., n, h=(b-a)/n) }.

Сеточной функцией y = y _j = y(x_j) называется функция, заданная в узлах сетки.

Любую сеточную функцию y _j = y(x_j) можно представить в виде вектора Y=(y₀, y₁,..., y_n-1, y_n), и, следовательно, множество сеточных функций образует конечномерное пространство, в данном случае размерности n+1. В этом пространстве можно ввести норму, например

или .

Пусть дано дифференциальное уравнение

Lu(x) = f(x, u) (например, ).

Заменим Lu в узле сетки x_i линейной комбинацией значений сеточной функции y_i на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Такая замена Lu на L_h y_h называется аппроксимацией на сетке дифференциального оператора L разностным оператором L_h . Замена непрерывной функции f(x, u) в узлах сетки на сеточную функцию j (x_h, y_h) называется аппроксимацией правой части.

Таким образом дифференциальное уравнение можно аппроксимировать (заменить) на сетке разностной схемой

L_h y_h = j (x_h, y_h) (например, ).

Изучение разностных аппроксимаций проводится сначала локально, т.е. в любом фиксированном узле сетки.

Пусть u_h - проекция непрерывной функции u(x) на сетку (например, u_h = u(x_j) = u_j).

значения локальной погрешности аппроксимации в каждом узле x_i образуют сеточную функцию погрешности аппроксимации y _i.

Обычно требуется оценка погрешности аппроксимации на сетке, т.е. оценка функции y _i в некоторой сеточной норме.

При построении интерполяционного полинома в форме Ньютона используется понятие разделенной разности, представляющее собой аналог понятия производной применительно к сеточным функциям.

Разделенной разностью сеточной функции (табл. 7.1) нулевого порядка в узлах x_i, i = 0, …, n называются значения этой функции в этих узлах

f (x_i)= y_i, i = 0, …, n.

Определение 1. Разделенной разностью сеточной функции первого порядка в узлах x_i, i = 0, …, n-1 называют отношение

Определение 2. Разделенной разностью сеточной функции второго порядка в узлах x_i, i = 0, …, n-2 называют отношение

Определение 3. Разделенной разностью сеточной функции n-го порядка в узле x₀ называют отношение

С использованием разделенных разностей интерполяционный полином Ньютона записывается в форме:

Билет № 14

1. Понятие определителя матрицы. Нахождение определителя различными способами. Пример подсчета определителя 2´ 2, 3´ 3, 4´ 4.

2. Расчет отклонения теоретической кривой от расчетной.

3. Задача.

1. Определитель может быть только у квадратной матрицы.

1)Определитель - число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу

2) Определитель матрицы это сумма всевозможных произведений элементов матрицы по одному элементу из каждой строки и столбца, с учетом знака. (в силу отсутствия острой необходимости, и громоздкости общей формулы, она не будет приведена, вместо это предлагается ипользовать методы описанные ниже, т.к. они проще и удобней)

• Свойства определителя:
• Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.
• При транспонировании матрицы ее определитель не меняется
• Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель
• Если строки (столбцы) определителя пропорциональны, то он равен нулю. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
• Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
• Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
• Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
• Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
• Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
• Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
• Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).
• С использованием индексной нотации определитель матрицы 3× 3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

Способ 1 (Разложение по i-ой строке) Суть данного метода в следующем:

6. Поочередно берутся элементы выбранной строки.

7. Затем из определителя вычеркиваются (мысленно) выбранная строка и столбец, выбранного элемента

8. Вычисляется определитель, уже меньшего порядка

9. Полученное число домножается на выбранный элемент и коэфициент

10. Далее все полученные значения суммируются.

Примеры определитель 2-го порядка: определитель 3-го порядка: Разложение в данном примере происходит по второй строке. Сначала вычеркивется первый столбец и вторая строка, из оставшихся компонент определителя составляется определитель второго порядка, и паралельно домножается на число, через которое провели пересечение, и на -1, т.к. 1(номер столбца) и 2(номер строки) дают нечетное число, а -1 в нечетной степени равно -1. Аналогичные действия производятся с оставщимися членами строки.

Способ 2 (Разложение по j-ому стролбцу)

Аналогичен способу 1, в силу свойства 5. Транспонируем матрицу и Находим ее определитель, раскладывая по j строке

Самый удобный и быстрый способ. – приведение к треугольной матрице-!!!!! ее определитель равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:

Запомнить эту формулу трудно. Однако существует простое правило, называемое правилом треугольников, которое позволяет легко воспроизвести выражение

Билет № 15

1. Понятие обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы. Пример.

2. Линеаризация функций. Линеаризация степенной функции. Пример.

3. Задача.

Ответы.

Обра́ тная ма́ трица — такая матрица A^{− 1}, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

(- Обратные матрицы существуют только для квадратных матриц)

Теорема. Если А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка n, то определитель их произведения равен произведению определителей матриц-сомножителей:

Определение обратной матрицы: Матрица В называется обратной для матрицы А, если А и В перестановочны и А*В=В*А=ЕОбозначение обратной матрицы:

• , где обозначает определитель.
• для любых двух обратимых матриц и .
• где обозначает транспонированную матрицу.
• для любого коэффициента .
• Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где — искомый вектор, и если существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства .

1. Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима).

1. Строим - матрицу из алгебраических дополнений элементов .

1. Транспонируем матрицу , тем самым получаем .

1. Умножаем каждый элемент матрицы на число . Этой операцией завершается нахождение обратной матрицы .

1. Проводим проверку результата, вычисляя произведения и . Если , то обратная матрица найдена верно, в противном случае где-то была допущена ошибка.

.

Линеаризация — (от лат. linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, либо для определенных процессов, причём, если система переходит с одного режима работы на другой, следует изменить и её линеаризированную модель. Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и особенно количественные свойства нелинейной системы.

Методы линеаризации

• Метод логарифмирования — применяется к степенным функциям;
• Метод обратного преобразования — для дробных функций;
• Комплексный метод — для дробных и степенных функций

где - разложение Для более точного исследования поведения функции в окрестности некоторой точки применяется разложение в степенной ряд Если оставить в разложении нулевой и первый члены ряда, то мы получим приближение функции в окрестности некоторой точки ее касательной в этой точке.

Билет № 16

1. Составление системы линейных алгебраических уравнений. Однородность и неоднородность системы.

2. Суть метода наименьших квадратов. Подсчет отклонения. Пример. Рисунок.

3. Задача.

1. Ответы. Будем рассматривать системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными (p может быть равно n) вида - неизвестные переменные, - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа), - свободные члены (также действительные или комплексные числа).

Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид ,

где - основная матрица системы, - матрица-столбец неизвестных переменных, - матрица-столбец свободных членов.
Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество .
Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.
Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.
Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.

2. Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

оставить систему линейных уравнений по следующим матрицам: , .

Матричное уравнение исходной системы ,

.

Согласно определению равенства матриц получим