Непрерывность

Шайкин А.Н.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕНЫХ

(РЕФЕРАТИВНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДЛЯ ВЕЧЕРНЕГО ФАКУЛЬТЕТА)

ПРЕДЕЛ

Определение. Функцией нескольких (n) переменных называется правило f, сопоставляющее каждому упорядоченному набору чисел (x ₁, x ₂, …, x_n) или, другими словами, точке М (М Х Rⁿ) некоторое число u R.

Определение. Графиком функции u = f (x ₁, x ₂, …, x_n) называется множество точек пространства R^{n +1}, координаты которых связаны соотношением u = f (x ₁, x ₂, …, x_n).

Определение. Функция (M) называется бесконечно малой величиной при М М ₀, если | (M)|< ( – проколотая окрестность точки М ₀).

Определение. Число А называется пределом по базе окрестностей точки М ₀ функции f (M), т.е. A = , если f (M)= А + (M), где (M) – бесконечно малая величина при М М ₀, или, развернуто, М | f (M)– A |< , где – расстояние между точками М и М ₀, которое при М (x ₁, x ₂, …, x_n) и М ₀(x ₀₁, x ₀₂, …, x _{0 n}) вычисляется следующим образом:

= .

Теорема (о единственности предела). Если = А и = В, то А = В.

Теорема (об арифметических свойствах предела). Если = А и = В, то для арифметической операции ◊ (◊ {+, –, }) имеет место равенство ◊ g (M))= A ◊ B (В случае деления необходимо дополнительно потребовать, чтобы В 0).

Определение. Уравнение М = М ₀+ t называется параметричес-ким уравнением прямой, проходящей через точку М ₀ в направлении вектора .

Определение. Число А называется пределом функции f (M) в точке М по направлению l, т.е. А = , если t | f (M)– A |< .

Замечание. Из существования и равенства пределов по всем направлениям, вообще говоря, не следует существования предела по базе окрестностей.

Определение. Пусть f (x, y) определена в проколотой окрестности точки М ₀(х ₀, у ₀) радиуса R и = . Тогда, если , то он называется повторным пределом. Аналогично определяется повторный предел .

Замечание. Если существуют оба повторных предела, то, вообще говоря, b c. Из существования предела по базе окрестностей, вообще говоря, не следует существования повторных пределов.

Теорема (о достаточном условии существования повторных пределов). Пусть f (x, y) определена в проколотой окрестности точки М ₀(х ₀, у ₀) радиуса R и = А. Пусть, кроме того, = и = . Тогда , и А = В = С.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Определение. Функция u = f (М) называется непрерывной в точке М ₀, т.е. , если она определена в некоторой окрестности точки М ₀ и = f (M ₀) или , а развернуто, М | f (M)– f(M ₀ ) |< .

Определение. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение. Точка М ₀ называется точкой разрыва функции, если функция определена в некоторой проколотой окрестности точки М ₀ и в этой точке функция не является непрерывной.

Теорема (об арифметических свойствах функции, непрерывной в точке). Если и , то для арифметической операции ◊ (◊ {+, –, }) ◊ g (M)) (В случае деления необходимо дополнительно потребовать, чтобы g (M ₀) 0).

Теорема (о локальной ограниченности функции, непрерывной в точке). Если , то , т.е. функция f (М) ограничена в некоторой окрестности точки М ₀.

Теорема (о локальном знакопостоянстве функции, непрерывной в точке). Если и f (M ₀) 0, то

1) f (M ₀)> 0 f (M)> 0;

2) f (M ₀)< 0 f (M)< 0.

Определение. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.

Определение. Точка М ₀ называется предельной для множества Х, если в любой ее окрестности содержатся точки из Х.

Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Определение. Множество называется открытым, если для любой точки этого множества существует ее окрестность, содержащаяся в этом множестве.

Теорема. Дополнением замкнутого множества является открытое, а дополнением открытого – замкнутое.

Определение. Множество называется ограниченным, если существует круг с центром в начале координат, содержащий это множество.

Теорема (Коши о промежуточном значении). Если Х – связное множество и ; М ₁ Х, М ₂ Х, то для любого значения А, лежащего между f (М ₁) и f (М ₂) найдется точка М ₀ Х f (М ₀)= А.

Теорема (Вейерштрасса). Если Х – замкнутое и ограниченное множество и , то и найдутся точки М ₁ Х и М ₂ Х, такие что f (М ₁)= и f (М ₂)= .