Полный дифференциал

Определение. Дифференциальная форма называется полным дифференциалом, если существует функция , т. ч. = . Тогда функция называется потенциальной функцией (потенциалом).

Теорема (критерий полного дифференциала). Пусть функции и определены в связном открытом множестве , , , , .

Тогда дифференциальная форма является полным дифференциалом всюду в Х всюду в Х.

Доказательство. (): Т.к. является полным дифференциалом, то существует функция , т. ч. = . Но = . Тогда , . По условию теоремы функции и имеют частные производные по у и х, соответственно. Значит, , . Из их непрерывности, по имеющемуся выше замечанию, следует их равенство, т.е. всюду в Х.

(): Пусть всюду в Х. Построим функцию , для которой выполнено равенство = , или равносильная пара тождеств , . Проинтегрируем первое из этих тождеств по х (считая у постоянной), что возможно благодаря непрерывности в связном открытом множестве Х. По теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом в качестве первообразной для можно взять , где – любая фиксированная точка в Х, а по теореме об общем виде первообразной = + . Учитывая, что должно еще выполняться , получаем новое требование + = , откуда = –

– = – = – = –

– = . Тогда = + С.

Подставляя найденное выражение для в выражение для , получаем = + + С. Существование такой , что = доказывает, что дифференциальная форма есть полный дифференциал.