Производные и дифференциалы высших порядков

Определение. Функция f (M) называется дважды дифференцируемой в точке М ₀ (обозначается f (M) ), если . Тогда , обозначаемые и называемые вторыми частными производными. Если , то пишут .

Теорема (о равенстве вторых смешанных производных).Если f (M) , то = .

Доказательство. Поскольку формула затрагивает только частные производные по двум переменным, то будем доказывать теорему для функции f (x, y) двух переменных.

Введем функцию

.

Если обозначить = , то получим

=(по теореме Лагранжа, где )=

= = =

= =

(т.к. , то по определению дифференцируемости)

= –

= ,

где , , – бесконечно малые величины при .

Если же вместо ввести обозначение = , то получим

=(по теореме Лагранжа, где )=

= = =

= =

(т.к. , то по определению дифференцируемости)

= –

= ,

где , , – бесконечно малые величины при .

Тогда имеем = . Переходя в этом равенстве к пределу при , получим

= .

Теорема (достаточное условие дважды дифференцируемости). Пусть функция определена в окрестности точки . Если , то f (M) .

Доказательство.

(по достаточному условию дифференцируемости)

f (M) .

Замечание. Для функции f (x, y) двух переменных, имеющей вторые смешанные частные производные и в некоторой окрестности точки , для равенства последних в точке достаточно их непрерывности в этой точке. Действительно, достаточно заменить соответствующие фрагменты доказательства на следующие. = (по теореме Лагранжа, примененной по переменной у, где ) = = (по непрерывности) = , где – бесконечно малая величина при . Аналогично, =(по теореме Лагранжа, примененной по переменной х, где ) = = (по непрерывности) = , где – бесконечно малая величина при . Далее как в приведенном доказательстве.

Определение. Дифференциалом второго порядка дважды дифференцируемой функции f (M) называется дифференциал от ее дифференциала.

Замечание. Для дважды дифференцируемой функции двух независимых переменных = = =

= =

= =

(по теореме о равенстве смешанных производных)

= .

Однако, если переменные не являются независимыми, то будет более сложное выражение для второго дифференциала, т.е. второй дифференциал уже не обладает свойством инвариантности формы.

Производные и дифференциалы более высоких порядков определяются аналогично.