Локальный экстремум

Определение. Точка М ₀ называется точкой локального максимума функции f (M), т.е. f (M ₀)=max f (M), если f (M) f (M ₀).

Определение. Точка М ₀ называется точкой локального минимума функции f (M), т.е. f (M ₀)=min f (M), если f (M) f (M ₀).

Определение. Точка М ₀ называется точкой локального экстремума функции f (M), если она является точкой локального максимума или минимума.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функция f (M) определена в некоторой окрестности точки М ₀ и . Если функция f (M) имеет в точке М ₀ локальный экстремум, то .

Доказательство (для i =1, остальные аналогично). = = =(поскольку мы фактически имеем дело с функцией одной переменной, то имеет место теорема о необходимом условии экстремума функции одной переменной)=0.

Замечание. Это условие не является достаточным.

Определение. Точка М ₀ называется стационарной точкой функции f (M), если .

Определение. Точка М ₀ называется критической точкой функции f (M), если она стационарная или не все существуют.

Следствие. Пусть f (M) , где М ₀ – точка локального экстремума функции f (M). Тогда (т.е. независимо от ).

Доказательство. = = = .

Следствие. Пусть f (M) , где М ₀ – точка локального экстремума функции f (M). Тогда .

Доказательство. =(0, …, 0)= .

Определение. Точка М ₀ называется минимаксом (седловой точкой), если она является стационарной точкой, но не является точкой экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть f (M) , где М ₀ – стационарная точка функции f (M). Тогда

· если при любых , то f (M ₀)=min f (M);

· если при любых , то f (M ₀)=max f (M);

· если при разных бывает разных знаков, то экстремума нет (минимакс);

· если не бывает разных знаков, но не всегда отличается от нуля, то в точке М ₀ экстремум может быть, а может и не быть (нужны дополнительные исследования).

(Без доказательства).

Определение. Рассмотрим матрицу . Миноры

, , …, называются главными минорами этой матрицы.

Теорема (Критерий Сильвестра). Обозначим . Тогда, при f (M) , = (). Для того чтобы при любых выполнялось неравенство (соответственно, ), необходимо и достаточно, чтобы главные миноры матрицы, составленной из , удовлетворяли неравенствам (соответственно, ).

(Без доказательства).

Следствие. Пусть f (х, у) , где М ₀(х ₀, у ₀) – стационарная точка функции f (M). Тогда

· если и , то f (M ₀)=min f (M);

· если и , то f (M ₀)=max f (M);

· если , то экстремума нет (минимакс);

· если , то в точке М ₀ экстремум может быть, а может и не быть (нужны дополнительные исследования).