Тема 3. Закони збереження енергiї та iмпульсу.

Основнi формули.

Повна механiчна енергiя невзаємодiючої частинки в полi консервативних сил

,

де - кiнетична енергiя, - потенцiальна енергiя частинки.

Потенцiальна енергiя тiла в полi тяжiння Землі:

.

де h - висота тiла над рiвнем, прийнятим за початок вiдлiку потенцiальної енергiї.

Потенцiальна енергiя гравiтацiйної взаємодiї

де G - гравiтацiйна постiйна; m₁, m₂ - маси тiл; r - вiдстань мiж ними.

Потенцiальна енергiя пружно деформованої пружини:

,

де k - жорсткiсть пружини, x -абсолютна деформацiя.

Робота, виконана зовнiшними силами:

.

Закон збереження iмпульсу системи N тiл ( - імпульс одного тіла)

.

Швидкiсть двох куль пiсля абсолютно непружного центрального удару:

.

Швидкiсть двох куль пiсля абсолютно пружного центрального удару:

де m₁ і m₂ - маси куль; - їх швидкості до удару.

Приклад розв’язування задач.

Приклад 1.4. З пружинного пiстолета вистрiлили кулею, маса якої 5 г. Жорсткiсть пружини .Пружина була стиснута на . Якої максимальної висоти досягне куля, якщо кiнець дула пiстолета знаходиться на висотi вiд поверхнi Землi i розташованний пiд кутом до горизонту. Опором повiтря знехтувати.

Дано:

Розв’язок

Рух кулi зручно розглядати в плоскiй декартовiй системi координат, початок якої спiвпадає з точкою вильоту кулi, вiсь ОХ паралельна поверхнi Землi, а вiсь OY перпендикулярна до неї. Як видно з рисунка, висота кулi над поверхнею Землi в довiльний момент часу:

. (1.16)

Максимальна висота пiдйому:

. (1.17)

Значення знайдемо, розглядаючи рух кулi як рух тiла, кинутого пiд кутом a до горизонту.

Cкладний криволiнiний рух по параболi можна зобразити як суму двох незалежних прямолiнiних рухiв: рiвномірного зi швидкiстю вздовж осi OX, і рівнозмінного вздовж осі OY, причому при пiдйомi кулi цей рух являється рiвносповiльненим з прискоренням g.

Проекцiя швидкостi в довiльний момент часу на вiсь OY:

(1.18)

а координата

при .

Значення знайдемо з умови, що в найвищiй точцi траєкторiї :

(1.19)

звiдки

(1.20)

Пiдставивши значення , знаходимо:

(1.21)

Тодi

(1.22)

Невiдому початкову швидкiсть, шо входить у вираз (1.22), знайдемо iз закону збереження енергiї, який полягає в тому, що потенцiальна енергiя пружно деформованої пружини дорiвнює кiнетивнiй енергiї кулi U=T

(1.23)

звiдки

(1.24)

Враховуючи (1.24), отримуємо кiнцеву формулу:

(1.25)

Перевiряємо розмiрнiсть:

Переконавшись, що одиниця в правiй частинi виразу (1.25) спiвпадає з одиницею лiвої частини, пiдставляємо в формулу значення величин i виконуємо обчислення:

.

Вiдповiдь: Максимальна висота пiдйому кулi .

В реальних умовах при заданих параметрах задачi вона менша, бо ККД пружинного пiстолета не дорiвнює 100% i значна частина енергiї витрачається на подолання сил опору повiтря. В цiй задачi, крiм закону збереження енергiї, вивчено рух тiла, кинутого пiд кутом до горизонту, розглянуто пружнi властивостi твердого тiла.