Поток векторного поля и способы вычисления.

Потоком вeктopa а через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е. Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как

То где a_n - проекция вектора а на направление нормали n, ds - дифференциал (элемент) площади поверхности.

Иногда записывают в виде

где вектор ds направлен по нормали к поверхности, причем |ds|= ds.

Так как n = (соs α:; соs β; соs γ), а= (P; Q; R), где Р = P(x; y; z),

Q = Q(x; у; z), R = R(x; у; z) - проекции вектора а на соответствующие

координатные оси, то поток вектора а, можно запиcать в виде

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода вектора можно записать как

Отметим, что поток вектора а есть скалярная величина. Величина

К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность

S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока

Если векторное поле а = а(М) есть поле скоростей текущей жидкости,

то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность

между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V)

и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где

векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с

вектором а острый угол и а n > О; в точках, где векторные линии

входят в объем, а n < О).При этом если К > О, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники. Если К < О, то внутри области V имеются стоки, поглощающие избыток жидкости.

Можно сказать, что источники - точки, откуда векторные линии

начинаются, а стоки - точки, где векторные линии кончаются. Так, в

электростатическом поле источником является положительный заряд,

стоком - отрицательный заряд магнита.Если К = О, то из области V вытекает столько же жидкости, сколько в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.