Криволинейный интеграл по координатам и его вычисление

Пусть в плоскости XOY задана непрерывная кривая АВ (или L) и функция Р(х; у), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую АВ точками M₀=A; , …, M_n=B, в направлении от точки А к точке В на n дуг с длинами (i = 1, 2,..., n). На каждой элементарной дуге возьмем точку () и составим сумму вида , где = - - проекция дуги на ось Ох. Эта сумма называется интегральной суммой для функции Р(х; у) по переменной Х. Если интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек (Xi; Yi), то его называют криволинейным интегралом по координате Х от функции Р(Х; У) по кривой АВ и обозначают
Итак, . Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(x; У) по координате у: . Криволинейный интеграл второго рода общего вида определяется равенством . Криволинейный интеграл по пространственной кривой L определяется аналогично.

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t) и y = y(t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими производными x'(t) и y'(t) на отрезке [α; β ], причем начальной точке А кривой соответствует значение параметра t = α:, а конечной точке В - значение t = β. и пусть функция Р (х; у) непрерывна на кривой АВ. Преобразуем интегральную сумму к переменной t. Тогда преобразована интегральная сумма будет интегральной суммой для функции одной переменной P(x(t); y(t)) ·х' (t) на промежутке [α; β ]. Поэтому

Аналогично получаем: Складывая почленно полученные равенства, получаем: