Вычисление тройного интеграла в декартовых, циллиндрической, сферической системах координат.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по переменным x и y.

Если область D(x, y) ограничена линиями

где f1(x), f2(x) - непрерывные функции в интервале [a, b] и f1(x) ≤ f2(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем

Формулы (1) называется формулой для вычесления тройного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление интеграла в цилиндрических координатах.

В цилиндрических координатах положение точки M(x, y, z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами − ρ, φ, z, где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Здесь предполагается, что

Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид:

Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью

Тройные интегралы в сферических координатах.

Сферическими координатами точки M(x, y, z) называются три числа − ρ, φ, θ, где ρ − длина радиуса-вектора точки M; φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox; θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:

Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x2 + y2 + z2).Иногда выгодно использовать т.н. обобщенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами