Интеграл от векторной функции по ориентированной фигуре

Пусть дана ограниченная, содержащая все граничные точки фигура (Ф), орто-нормированный базис i, j, k и точка P(x, y, z)∈ (Φ). Вектор

a (P)= a(x, y, z)=X(x, y, z)i+Y(x, y, z)j+Z(x, y, z)k определенный на (Ф), называется векторной функцией трех переменных с областью определения(Ф). Функции X(x, y, z)+Y(x, y, z)+Z(x, y, z) называется координатами в выбранном базисе

Фигура (Ф) называется ориентированной, если в каждой ее точке задан некоторый вектор b (P), определенным образом характеризующий (Ф).

Пусть дана ориентированная фигура (Ф) и векторная функция a (P), P ∈ (Φ). Выполним следующие действия.

1. Выберем направление ориентирующего вектора b (P)фигуры (тем самым выбирается направление движения по кривой в случае (Ф)=(L) или сторона поверхности в случае (Ф)=(Q)).

2. Разобьем фигуру (Ф), мера которой μ на элементарные фигуры (Δ Φ _i), меры которых Δ μ _i,. i =

3. На каждой из фигур (Δ Φ _i)выберем произвольную точку P_i.

4. В выбранной точке P_i вычислим векторы a (P_i)и b (P_i) Δ μ _i. i =

5. Вычисляем скалярные произведения (a (P_i), b (P_i)) Δ μ _i. Δ μ _i. i =

6. Составляем сумму, (a (P_i), b (P_i)) Δ μ _i=S_n,

которую будем называть n-й ин-тегральной суммой для векторной функции a (P_i) по ориентированной с помощью вектора b (P_i) фигуре (Ф). ()()()rr aPbPSiiiinn, Δ μ =Σ =1

7. Найдем предел суммы S_n, при условии, что максимальный из диаметров элементарных фигур (Δ Φ _i)стремится к нулю, т.е.

S_n= (a (P_i), b (P_i)) Δ μ _i

Определение Предел суммы, при условии, что каждая из элементарных фигур стягивается в точку (λ → 0), если он существует, конечен не зависит от спо-соба разбиения фигуры (Ф) на элементарные фигуры и от выбора точек в каждой из них, называется интегралом по ориентированной фигуре (Ф) от векторной функции а(Р) и обозначается

(a, b) d μ = (a (P_i), b (P_i)) Δ μ _i

Справедлива

Теорема (о существовании интеграла по фигуре от векторной функции). Если функции X(x, y, z)+Y(x, y, z)+Z(x, y, z) в выражении(1) непрерывны на ограниченной, гладкой содержащей граничные точки, ориентированной фигуре (Ф), то интеграл по фигуре существует.