Геометрический смысл двойного интеграла.

Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной осью Ox. x=a, x=b, y= f (x).

S=

Пусть дана функция z= f(x, y)- определенна, непрерывна и не отрицательна в ограниченной замкнутой области D.

Цилиндрическим телом (цилиндройдом) относительно оси Oz наз. часть пространства, ограниченного снизу плоской областью D, лежащей в обл. D. Ограниченного сверху графиком z= f(x, y) и сбоку цилиндрической поверхностью с образующей параллел. оси Oz и направляющей, явл. границей обл. D.

Для вычисления объема цилинд. Тела, проекцию тела разобъем n -элементарных частей с площадями Δ S_i. В каждой площадке выберем точки P_i. Для обозначения функ. от f(x, y) в точках P_i изменяется от i =1, n. Построим прямойцилиндрический столбик с площадью основания Δ S_i ивысотой f(P_i)=f(x_i, y_i). Объем такого столбика: Δ V_i= Δ S_i f(P_i). Сумма

объемов цилиндр. столбиков:

Для определения точного значения:

Величина двойного интеграла от неотрицательной функции

равна объему цилиндрического тела(Vцил).

5.Двойной интеграл и его вычисление в декартовой системе координат.

Пусть дана функция z= f(x, y)- непрерывна взамкнутой обл. D, тогда существует. Если плоскую обл. D разбить на элементарные части Δ S_i; x, y=const dS=dXdY - элемент площади.Получим формулу для вычисления двойного интеграла в декартовых системах координат.

Вычислим объем цилиндр. тела с основанием D

и верхней крышкой z= f(x, y)- способом вычисл. по извест.

поперечным сечениям. Пересечем все тело плоскостью

(x=const).Площадь обозначим через:

Объем тела:

Формула для вычисления интеграла в декартовой системе координат:

Замечания: 1)Если обл. интегрирования правильная относит. Oy- правильная, то ф-ла имеет вид:

2)Пределы внеш. Интеграла при вычислении двойн. интеграла всегда постоянны, а пределы внутреннего интеграла некоторые функции.Пределы внутр. Интеграла постоянны, если обл. ПРЯМОУГОЛЬНИК.

3)Если обл. D не является ни одной из осей, то ее разбивают так чтобы формула для вычисления двойного интеграла была применима и было применимо свойство адитивности(сложения).
6.Двойной интеграл в полярной системе координат.

Для вычисления сложных двойных интегралов используют полярную систему координат. Для этого совершают преобразования переменных, тогда изменяется обл. интегрирования, но и вид подъинтегрального выражения.

U, V- новые, независимые переменные.

Предполагаем, что ф-лы 𝛙 и φ непрерывны и имеют част. Производные в обл. D. Тогда Ј(якобиан)≠ 0. Если в обл. D взять точку Р_i(x_i, y_i), а в обл. D’(U_i, V_i), то между ними можно установить взаимо однозначное соответствие.

dXdY= dUdV

Переход из декартовой системы координат в полярную. x=rcos𝜑 y=rsin𝜑