Задача №1. Для изучения производительности труда рабочих завода было проведено 10- ти процентное выборочное обследование по методу случайного бесповоротного отбора

Для изучения производительности труда рабочих завода было проведено 10- ти процентное выборочное обследование по методу случайного бесповоротного отбора, в результате которого были получены следующие данные о дневной выработке изделий рабочими:

Таблица 3

Распределение рабочих по проценту норм выработки

На основе этих данных вычислите:

1) среднюю сменную выработку

2) моду и медиану

3) размах вариаций;

4) среднее линейное отклонение;

5) дисперсию;

6) среднее квадратичное отклонение

7) коэффициент вариации, определите, однородна ли данная совокупность;

8) с вероятностью 0, 954 предельную ошибку выборки и границы, в которых можно ожидать среднюю выработку рабочих завода;

9) с вероятностью 0, 954 пределы доли рабочих, вырабатывающих в смену 26 изделий.

10 сделайте выводы.

Решение:

Среднюю сменную выработку найдем по формуле арифметической средней взвешенной, вычислив предварительно середины каждого ряда:

=(18*5+21*15+23*35+25*80+27*95+29*4+31*1)/(5+15+35+80+95+4+1)=25, 2 шт.

Медианой (Ме) называется такое значение признака X, когда ровно половина значений экспериментальных данных меньше ее, а вторая половина — больше.

Медианным является интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше, чем 235/2=117, 5 чел.

Таким образом, медианным является интервал с производством изделий от 24 до 26. Воспользуемся следующей формулой:

где xMeн — нижняя граница медианного интервала; — половина объема выборки; hme — ширина медианного интервала; — накопленная частота интервала, предшествующего медианному, nMe — частота медианного интервала.

Ме=24+2*((117, 5-55)/80)=25, 56 шт.

Мода (Мо) представляет собой значение признака, встречающееся в выборке наиболее часто. Для определения моды в интервальном ряду используется следующая формула:

где хмон — нижняя граница модального интервала; h — ширина интервала группировки; nMo — частота модального интервала; nMo-1 — частота интервала, предшествующего модальному; nMo+1 — частота интервала, следующего за модальным.

Модальный интервал составляет от 26 до 28 штук.

Мо=26+2*((95-80)/(95-80+95-4))=26, 28 шт.

Размах вариации – разность между максимальной и минимальной вариантами выборки:

=31-18=13 шт.

Среднее линейное отклонение L

Составим вспомогательную таблицу:

L=384/235=1, 634

Дисперсия

δ ²=1095, 6/235=4, 66 шт.

Среднее квадратическое отклонение σ – это корень квадратный из дисперсии

σ = 2, 159 шт.

Коэффициент вариацииV. Это отношение среднего квадратического отклонения к средней величине. Дает характеристику однородности совокупности.

= 2, 159/25, 2*100=8, 567%

Таким образом, совокупность является однородной.

Среднюю ошибку выборки определяем по формуле для бесповторного отбора:

=0, 205

Доверительной вероятности 0, 954 соответствует значение t =2, 00.

Таким образом, предельная ошибка выборки при которой можно ожидать среднюю выработку рабочих завода составит

= 2, 00*0, 205 = 0, 41 шт.

Соответственно средняя выработка находится в пределах

25, 2-0, 41 25, 2+0, 41

С вероятностью 0, 954 можно утверждать, что среднюю выработку рабочих завода можно ожидать в пределах от 24, 79 до 25, 61 шт.

Определим долю удельного веса рабочих, вырабатывающих в смену 26 изделий, она составляет = 80*100/235 =34%.

Средняя ошибка доли:

= 0, 029.

Предельная ошибка доли:

= 2, 00*0, 029= 0, 058 или 5, 8%.

Таким образом, доля удельного веса рабочих, вырабатывающих в смену 26 изделий, в генеральной совокупности находится в пределах 5, 8%:

34-5, 8 34+5, 8

С вероятностью 0, 954 можно гарантировать что доля удельного веса рабочих, вырабатывающих в смену 26 изделий, составляет от 28, 2, 3% до 39, 8%.