Тема 1.2 Кинематика материальной точки

Основная задача кинематики. Способы задания движения точки. Кинематические характеристики частицы: закон движения, скорость, ускорение. Оси естественного трехгранника. Касательное и нормальное ускорения точки.

Ключевые слова: кинематика, тело отсчета, система координат, траектория, задание движения, векторный способ, координатный способ, естественный способ, радиус-вектор, координаты точки, закон движения, средняя скорость, мгновенная скорость, среднее ускорение, мгновенное ускорение, проекции скорости, проекции ускорения, естественный трехгранник, главная нормаль, бинормаль, касательное ускорение, нормальное ускорение, полное ускорение.

Кинематикойназывается раздел механики, в котором изуча­ются геометрические свойства движения тел без учета их инертно­сти (массы) и действующих на них сил.

Кинематика представляет собой, с одной стороны, введение в динамику, так как установление основных кинематических понятий и зависимостей необходимо для изучения движения тел с учетом действия сил. С другой стороны, методы кинематики имеют и са­мостоятельное практическое значение, например, при изучении пе­редач движения в механизмах.

Под движением в механике понимается изменение с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам.

Для определения положения движущегосятела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучает­ся движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета. Изображают сис­тему отсчета в виде трех координатных осей, не показывая тело, с которым они связаны. Выбор системы отсчета в кинематике произволен. Он определяется целью исследования и в отличие от ди­намики все кинематические зависимости, полученные при изучении движения в какой-нибудь одной системе отсчета, будут справедливы и в любой другой системе отсчета.

Движение тел совершается в пространстве с течениемвремени. Пространство в механике мы рассматриваем как трехмерное евкли­дово пространство. Все измерения в нем производятсяна основании методов евклидовой геометрии. Время в механике считается универ­сальным, т. е. протекающим одинаково во всех рассматриваемых системахотсчета.

Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).

Кинематически задать движение или закон движения тела (точ­ки) — значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени.Установление ма­тематических способов задания движения точек или тел является одной изважных задач кинематики. Поэтому изучение движения любого объекта будем начинать с установления способов задания этого движения.

Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих дан­ное движение.

Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка от­носительно данной системы отсчета, называется траекториейточки. Еслитраекторией является прямая линия, движение точки называ­ется прямолинейным, а если кривая — криволинейным.

Для задания движения точки можно применять один из следую­щих трех способов: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

1. Векторный способ задания движения т о ч к и. Пусть точка движется по отношению к некоторой си­стеме отсчета . Положение этой точки влюбой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из на­чала координат в точку .

При движении точки вектор будет с течением времени изме­няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­мента t:

. (1)

Это равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т. е. годограф этого век­тора, определяет траекторию движущейся точки.

Аналитически вектор задается его проекциями на координатные оси. В прямоугольных декартовых координатах для вектора будет: , где — де­картовы координаты точки. Тогда, если ввести единичные векторы (орты) координатных осей, получим для выражение

(2)

Одной из основных кинематических характеристик движе­ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Введем понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в момент времени в положении , определяемом радиусом-векто­ром , а в момент приходит в положение , определяемое векто­ром . Тогда перемещение точки за промежуток времени определяется вектором , который называется вектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, если точка движется криволинейно, и вдоль самой траек­тории АВ, когда движение является прямолинейным. Тогда

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую сред­нейпо модулю инаправлению скоростью точкиза промежуток вре­мени :

(3)

Направлен этот вектор так же, как и вектор перемещения.Чем меньше будет промежуток времени , для которого вычислена средняя скорость, тем величина будет точ­нее характеризовать движение точки. Чтобы получить точную характеристику движения, вводят понятие о скорости точки в данный момент времени.

Скоростью точки в данный момент времени называется вектор­ная величина , к которой стремится средняя скорость при стрем­лении промежутка времени к нулю:

(4)

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени. Вектор скорости точки в данный момент времени на­правлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Формула (4) показывает также, что вектор скорости v равен от­ношению элементарного перемещения точки , направленного по касательной к траектории, к соответствующему промежутку вре­мени .

Ускорением точки называется векторная величина, характери­зующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

Отношение приращения вектора скорости к соответствующему про­межутку времени определяет век­тор среднего ускоренияточки за этот промежуток времени:

(5)

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и век­тор , т. е. направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорением точки в данный момент времени называется век­торная величина , к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю:

(6)

Следовательно, вектор ускорения точки в данный момент време­ни равен первой производной от вектора скорости или второй произ­водной от радиуса-вектора точки по времени.

Из формулы (6) следует также, что вектор ускорения точки равен отношению элементарного приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени .

2. Координатный способ задания движе­ния точки. Зависимость (1) от будет известна, если будут заданы коор­динаты точки как функции време­ни. Такой способ задания движения точки называется координатным.

Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами , которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т. е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости

(7)

Уравнения (7) представляют собой уравнениядвижения точки в прямоугольных декартовых координатах.Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Если движение точки происходит все время в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за плоскость , получим в этом случае два уравнения движения:

(8)

При прямолинейном движении точки, если вдоль ее траектории направить координатную ось , движение будет опре­деляться одним уравнением (законом прямолинейного движения точки)

(9)

При координатном способе описания движения точки скорости и ускорения точки определяются следующим образом

;

.

Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по вре­мени. Проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

3.Естественный способ задания движения точки. Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки при ее движении относительно системы отсчета (рис.). Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку , которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как па координат­ной оси). Тогда положение точки на тра­ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди­натой , которая равна расстоянию от точки до точки , изме­ренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим зна­ком. При движении точка перемещается в положения следовательно, расстояние будет с течением времени изменяться. Чтобы знать положение точки на траектории в любой момент вре­мени, надо знать зависимость

(10)

Уравнение (10) и выражает закон движения точки вдоль тра­ектории.

При естественном способе задания движения точки значения векторов скорости и ускорения определяют по их проекциям на подвижные оси , называемые осями естественного трехгранника. Эти оси направлены следующим образом: ось - по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния ; ось (главная нормаль) - по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось (бинормаль) - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую систему осей.

Так как скорость направлена по касательной к траектории, она определяется только одной проекцией :

(11)

Числовое значение скорости точки в данный момент времени равно первой производной от расстояния этой точки по времени.

Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости . Следовательно, проекция вектора ускорения на бинормаль равна нулю. Проекции на ось и главную нормаль определяются следующим образом:

(12)

где - радиус кривизны траектории.

Таким образом, проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от числового значения скорости или второй производной от расстояния по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой. Величины и называют касательным и нормальным ускорениями точки.

Значение полного ускорения определяется формулой:

.

Таким образом, чтобы задать движение точки естественным спо­собом, надо задать: 1) траекторию точки; 2) начало отсчета на траек­тории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета; 3) закон движения точки вдоль траектории в виде .