![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Раздел 4 Некоторые задачи динамики
Тема 4.1 Одномерное движение Одномерное движение, его качественное исследование. Период одномерного финитного движения. Задача двух тел, ее сведение к одночастичной задаче, приведенная масса.
Ключевые слова: одномерное движение, точка остановки, финитное движение, инфинитное движение, потенциальная яма, период движения, приведенная масса, задача двух тел. Одномерным называют движение системы с одной степенью свободы. Общий вид функции Лагранжа такой системы, находящейся в постоянных внешних условиях, следующий
где
Первый интеграл движения, т.е. уравнение, выражающее закон сохранения энергии, имеет вид
Это дифференциальное уравнение первого порядка, которое интегрируется путем разделения переменных:
Роль произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия Так как кинетическая энергия – существенно положительная величина, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, т.е. движение может происходить в тех областях пространства, где Точки, в которых потенциальная энергия равна полной, Одномерное финитное движение является колебательным – частица совершает периодически повторяющееся движение между двумя границами.
Период колебаний равен
Задача о движении системы, состоящей из двух взаимодействующих частиц, называется задачей двух тел. Эта задача может быть упрощена путем разложения движения системы на движение центра инерции и движение точек относительно последнего. Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит лишь от расстояния между ними, т.е. от абсолютной величины разности их радиус-векторов. Лагранжева функция такой системы
Введем вектор взаимного расстояния обеих точек и поместим начало координат в центре инерции, что дает:
Из двух последних равенств находим:
Подставляя эти выражения в функцию Лагранжа, получим:
где введено обозначение
Эта величина называется приведенной массой. Полученная функция Лагранжа формально совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих материальных точек сводится к решению задачи о движении одной точки в заданном внешнем поле Тема 4.2 Движение в центральном поле Частица в центрально-симметричном поле. Законы сохранения, уравнение траектории. Качественное исследование движения по графику эффективной потенциальной энергии.
Ключевые слова: центральное поле, момент системы, циклическая координата, импульс системы, секториальная скорость, центробежная энергия, эффективная потенциальная энергия, точки поворота, финитное движение, инфинитное движение. Поле, в котором потенциальная энергия частицы зависит только от расстояния
При движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля. Для одной частицы это есть
Поскольку векторы Задача интегрирования уравнений движения упрощается при наличии циклических координат. Циклической координатой называют всякую обобщенную координату, не входящую явным образом в лагранжеву функцию. В силу уравнения Лагранжа для циклической координаты имеем
т.е. соответствующий ей обобщенный импульс Функция Лагранжа частицы, движущейся в центральном поле, в полярных координатах имеет вид
Эта функция не содержит в явном виде координату совпадает с моментом, так что мы возвращаемся к закону сохранения момента
Выражение
где производную Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и момента:
Разделяя переменные и интегрируя, получим
Из закона сохранения момента имеем
Подставив сюда
Это уравнение траектории. Величину
определяют границы области движения по расстоянию от центра. В этом случае радиальная скорость Тема 4.3 Задача Кеплера Движение частицы в кулоновском поле, ее траектории. Финитное движение в кулоновском поле. Законы Кеплера.
Ключевые слова: эффективная потенциальная энергия, параметр, эксцентриситет, уравнение траектории, орбита, эллиптическая орбита, гипербола, парабола, большая полуось, малая полуось, центр поля, период обращения. Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна Рассмотрим поле притяжения, в котором
Эффективная потенциальная энергия имеет вид:
При При Форма траектории получается с помощью общей формулы
Подставляя сюда
Выбирая начало отсчета угла
формула для траектории перепишется в виде:
где При
Наименьшее и наибольшее расстояния до центра поля равны:
При Период движения можно определить с помощью закона сохранения момента в форме «интеграла площадей». Интегрируя это равенство по времени от нуля до
где
Как видно, пероид зависит только от энергии частицы. При этом квадрат периода пропорционален кубу линейных размеров орбиты (третий закон Кеплера). При
где
В случае
Рассмотрим движение частицы в поле отталкивания, в котором
В этом случае эффективная потенциальная энергия убывает от
Минимальное расстояние до центра
Тема 4.4 Рассеяние частиц Рассеяние частиц в силовом поле, сечение рассеяния. Формула Резерфорда.
Ключевые слова: рассеяние частиц, угол отклонения, прицельное расстояние, рассеяние пучка, эффективное сечение, сечение рассеяния, падающая частица. Полное определение результата столкновения двух частиц требует решения уравнений движения с учетом конкретного закона взаимодействия частиц. Сначала рассмотрим задачу об отклонении одной частицы с массой
Угол
взятым между ближайшим к центру и бесконечно удаленным положениями частицы. Введем вместо постоянных
Тогда
В физических приложениях приходится иметь дело не с индивидуальным отклонением частицы, а с рассеянием целого пучка одинаковых частиц, падающих на рассеивающие центр с одинаковой скоростью Для характеристики процесса рассеяния вводят эффективное сечение рассеяния
где Число частиц, которые летят с прицельным расстоянием в определенном интервале между или
где Эта формула определяет эффективное сечение рассеяния в зависимости от угла рассеяния в системе центра инерции. Для нахождения эффективного сечения в зависимости от угла рассеяния
Рассмотрим рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле
В этом случае
С другой стороны
Сравнивая их, получим
Дифференцируя это выражение по
Это формула Резерфорда. Эта формула дает эффективное сечение рассеяния в системе отсчета, в которой покоится центр инерции сталкивающихся частиц. В лабораторной системе для частиц, первоначально покоившихся, получим
Для падающих частиц в случае равенства масс обеих частиц имеем
Тема 4.5 Малые колебания Малые колебания. Гармонические колебания. Затухающие колебания. Вынужденные колебания.
Ключевые слова: свободные одномерные колебания, частота, амплитуда колебаний, циклическая частота, вынужденные колебания, вынуждающая сила, резонанс, затухающие колебания, коэффициент затухания, сила трения, дифференциальные уравнения колебаний, закон колебаний. Одним из распространенных типов движения механических систем являются малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. Рассмотрим простой случай этих движений, когда система имеет всего одну степень свободы. Лагранжева функция системы, совершающей одномерные малые колебания, имеет вид:
Соответствующее этой функции уравнение движения запишется следующим образом: или
где
Общее решение этого линейного дифференциального уравнения второго порядка или
где произвольные постоянные
Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение. Коэффициент Энергия системы, совершающей малые колебания, есть
Колебания, которые система совершает под действием некоторого переменного внешнего поля, называются вынужденными. Лагранжева функция такой системы будет равна
Соответствующее этой функции уравнение движения есть или
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения получается в виде
где Допустим, что вынуждающая сила является простой периодической функцией времени с частотой
Частный интеграл неоднородного уравнения ищем в виде
Подстановка этого решения в уравнение дает:
Тогда общий интеграл получается в виде:
Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний – с собственной частотой системы До сих пор влияние среды на движение не учитывалось. В действительности при движении тела в среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, как говорят, диссипируется. Рассмотрим колебания с частотами, малыми по сравнению с частотами, характерными для внутренних диссипативных процессов в среде. При выполнении этого условия можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая только от его скорости:
где Уравнение движения будет иметь вид:
Введем обозначения
Здесь Тогда уравнение движения примет вид
Общее решение этого дифференциального уравнения
Здесь различают три случая. Если
Выражаемое этими формулами движение представляет собой затухающие колебания. Если
Этот тип движения называют апериодическим затуханием. Особый случай апериодического затухания получается и при
Уравнение движения системы, совершающей вынужденные колебания при наличии трения, следующее:
Закон вынужденных колебаний при наличии трения имеет вид:
Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большой промежуток времени остается только второй член.
|