Раздел 2 уравнения движения классической механики

Тема 2.1 Уравнения движения

Принцип наименьшего действия. Уравнение Лагранжа. Функция Лагранжа. Обобщенные координаты. Уравнения движения Ньютона.

Ключевые слова: обобщенные координаты, обобщенные скорости, обобщенные ускорения, уравнения движения, функция Лагранжа, уравнения Лагранжа.

Для определения положения системы из материальных точек в пространстве надо задать радиус-векторов, т.е. координат. Число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения системы, называется числом ее степеней свободы. Эти величины не обязательно должны быть декартовыми координатами точек. В зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор каких-либо других координат. Любые величин , характеризующие положение системы, называют ее обобщенными координатами, а производные - ее обобщенными скоростями.

Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называются уравнениями движения.

Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается принципом наименьшего действия (принципом Гамильтона). Согласно этому принципу каждая механическая система характеризуется определенной функцией

,

называемой функцией Лагранжа, причем между двумя определенными положениями, характеризуемыми значениями координат и , система движется таким образом, что интеграл

имеет наименьшее возможное значение. Этот интеграл называют действием.

Используя принцип наименьшего действия, можно найти уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, т.е. уравнение Лагранжа

().

Если функция Лагранжа данной механической системы известна, то эти уравнения устанавливают связь между ускорениями, скоростями и координатами, т.е. представляют собой уравнения движения системы.

Функция Лагранжа свободной частицы имеет вид

.

Для системы невзаимодействующих точек имеем

,

для замкнутой системы, т.е. системы частиц, взаимодействующих друг с другом, но не взаимодействующих с посторонними телами, функция Лагранжа дается выражением

.

Тема 2.2 Уравнения Гамильтона

Уравнения Гамильтона. Обобщенный импульс. Функция Гамильтона. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби.

Ключевые слова: обобщенные координаты, обобщенный импульс, функция Гамильтона, уравнение Гамильтона, уравнение Гамильтона-Якоби.

Формулирование законов механики с помощью функции Лагранжа предполагает описание механического состояния системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей системы. Такое описание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов системы. Такой формулировке механики отвечают уравнения Гамильтона

,

где - функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона ввиду их простоты называют еще каноническими уравнениями.

Уравнения Гамильтона – Якоби

,

где .