Раздел 3 законы сохранения и теоремы классической механики

Тема 3.1 Законы сохранения

Интегралы движения.Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Свойства симметрии пространства и времени и законы сохранения. Теорема Нетер. Центр инерции, его скорость, теорема о движении центра инерции. Теорема Кенига.

Ключевые слова: интегралы движения, энергия, импульс, момент импульса, однородность времени, однородность пространства, изотропность пространства, центр иенрции, аддитивность массы, аддитивность величин.

При движении механической системы величин и , определяющих ее состояние, изменяются со временем. Однако, существуют такие функции этих величин, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти функции называют интегралами движения. Число независимых интегралов движения для замкнутой механической системы с степенями свободы равно .

Но не все интегралы движения играют одинаково важную роль в механике. Среди них есть несколько, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени – их однородностью и изотропией. Все эти сохраняющиеся величины имеют важное общее свойство аддитивности – их значение для системы, состоящей из нескольких невзаимодействующих частей, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности.

С однородностью времени связан закон сохранения энергии. В силу однородности времени функция Лагранжа замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана следующим образом:

.

С учетом уравнений Лагранжа это выражение примет вид

или

.

Отсюда видно, что величина

остается неизменной при движении замкнутой системы, т.е. является одним из ее интегралов движения. Эта величина называется энергией системы.

Закон сохранения энергии справедлив не только для замкнутых систем, но и для систем, находящихся в постоянном внешнем поле. Механические системы, энергия которых сохраняется, называется консервативными.

С однородностью пространства связан закон сохранения импульса. В силу однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый перенос, при котором все точки системы смещаются на один и тот же отрезок , и потребуем, чтобы функция Лагранжа осталась неизменной:

или .

В силу уравнений Лагранжа получаем отсюда:

.

Следовательно, в замкнутой системе векторная величина

остается неизменной при движении. Эта векторная величина называется импульсом системы. С учетом выражения для функции Лагранжа замкнутой системы имеем

.

Аддитивность импульса очевидна.

С изотропией пространства связан закон сохранения момента импульса. Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы функция Лагранжа при этом не изменилась:

.

Заменяя производные

и производя математические преобразования, получаем

Ввиду произвольности отсюда следует, что

,

т.е. при движении замкнутой системы сохраняется векторная величина

,

называемая моментом импульса системы. Аддитивность этой величины также очевидна.

Импульс замкнутой системы имеет различные значения по отношению к различным системам отсчета. Пусть система отсчета движется относительно системы отсчета со скоростью , то скорости и частиц связаны соотношением . Поэтому связь импульсов в этих системах дается формулой

.

Всегда существует такая система отсчета, в которой полный импульс системы равен нулю. Пусть . Тогда скорость этой системы отсчета будет равна

.

Эта скорость приобретает смысл скорости движения механической системы как целого.

Таким образом, скорость системы как целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой дается формулой

.

Такую точку называют центром инерции системы. Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно.

Энергия механической системы при переходе от одной системы отсчета к другой преобразуется следующим образом

,

где

, .

Закон преобразования момента импульса системы при переходе от одной системы отсчета к другой определяется формулой

.