![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Раздел 3 законы сохранения и теоремы классической механики
Тема 3.1 Законы сохранения Интегралы движения.Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Свойства симметрии пространства и времени и законы сохранения. Теорема Нетер. Центр инерции, его скорость, теорема о движении центра инерции. Теорема Кенига.
Ключевые слова: интегралы движения, энергия, импульс, момент импульса, однородность времени, однородность пространства, изотропность пространства, центр иенрции, аддитивность массы, аддитивность величин. При движении механической системы Но не все интегралы движения играют одинаково важную роль в механике. Среди них есть несколько, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени – их однородностью и изотропией. Все эти сохраняющиеся величины имеют важное общее свойство аддитивности – их значение для системы, состоящей из нескольких невзаимодействующих частей, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. С однородностью времени связан закон сохранения энергии. В силу однородности времени функция Лагранжа замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана следующим образом:
С учетом уравнений Лагранжа это выражение примет вид или
Отсюда видно, что величина остается неизменной при движении замкнутой системы, т.е. является одним из ее интегралов движения. Эта величина называется энергией системы. Закон сохранения энергии справедлив не только для замкнутых систем, но и для систем, находящихся в постоянном внешнем поле. Механические системы, энергия которых сохраняется, называется консервативными. С однородностью пространства связан закон сохранения импульса. В силу однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый перенос, при котором все точки системы смещаются на один и тот же отрезок
В силу уравнений Лагранжа получаем отсюда:
Следовательно, в замкнутой системе векторная величина остается неизменной при движении. Эта векторная величина называется импульсом системы. С учетом выражения для функции Лагранжа замкнутой системы имеем
Аддитивность импульса очевидна. С изотропией пространства связан закон сохранения момента импульса. Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы функция Лагранжа при этом не изменилась:
Заменяя производные и производя математические преобразования, получаем Ввиду произвольности
т.е. при движении замкнутой системы сохраняется векторная величина
называемая моментом импульса системы. Аддитивность этой величины также очевидна. Импульс замкнутой системы имеет различные значения по отношению к различным системам отсчета. Пусть система отсчета
Всегда существует такая система отсчета, в которой полный импульс системы равен нулю. Пусть
Эта скорость приобретает смысл скорости движения механической системы как целого. Таким образом, скорость системы как целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой дается формулой
Такую точку называют центром инерции системы. Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно. Энергия механической системы при переходе от одной системы отсчета к другой преобразуется следующим образом
где
Закон преобразования момента импульса системы при переходе от одной системы отсчета к другой определяется формулой
|