Раздел 7 механика твердого тела

Тема 7.1 Кинематика твердого тела

Задача кинематики твердого тела. Виды движения твердого тела. Поступательное движение твердого тела. Вращательное движение твердого тела. Плоское движение твердого тела.

Ключевые слова: поступательное движение твердого тела, вращательное движение твердого тела, плоское движение твердого тела, угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение, закон движения, линейная скорость, касательное ускорение, нормальное ускорение, полное ускорение, полюс, плоская фигура, мгновенный центр скоростей.

Задача кинематики твердого тела распадаются на две части:

1) задание движения и определение кинематических характеристик движения в целом; 2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек твердого тела.

К основным видам движения твердого тела относятся поступательное, вращательное и плоскопараллельное движения.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Поступательное движение не следует смешивать с прямолиней­ным. При поступательном движении тела траектории его точек мо­гут быть любыми кривыми линиями. Например, кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги
движется поступательно. При этом траектории его точек будут прямыми линиями.

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению ско­рости и ускорения.

При поступательном движении общую для всех точек тела ско­рость называют скоростью поступательного движениятела, а ускорение — ускорением поступательного движениятела.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными. Проходящая через эти неподвижные точки прямая называется осью вращения.

Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла поворота тела от времени , т. е.

Уравнение (13) выражает закон вращательного движения твер­дого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение .

или .

Числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени.Эторавенство показывает также, что величина равна отношению элементарного угла поворота к соответствующему промежутку времени .

Угловую скорость тела можно изоб­разить в виде вектора , модуль которо­го равен и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.

Угловое ускорение характеризует изменение с те­чением времени угловой скорости тела. Угловое ускорение определяется:

или .

Таким образом, числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени. Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, когда тело вращается ускоренно, и противоположно вектору угловой скорости при замедленном вращении.

Если угловая скорость тела остается во все время движения по­стоянной (), то вращение тела называется равномерным. Закон равномерного вращения имеет вид:

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (), то вращение называется равнопеременным. Закон равнопеременного вращения имеет вид:

,

а угловая скорость определяется формулой

.

Числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстоя­ние от этой точки до оси вращения:

.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и данную точку.

Ускорения отдельных точек твердого тела определяются по формулам:

где и - тангенциальная и нормальная составляющая ускорения.

Касательная составляющая ускорения направлена по каса­тельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при замедленном); нормальная составляющая всегда направлена по радиусу к оси вращения.

Плоскопараллельным называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела имеют вид:

Движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса, а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса.

Скорость любой точки плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки, принятой за полюс, и скорости, которую эта точка получает при вращении фигуры вокруг этого полюса.

Ускорение любой точки плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки, принятой за полюс, и ускорения, которое эта точка получает при вращении фигуры вокруг этого полюса.

Тема 7.2 Динамика твердого тела

Кинетическая энергия твердого тела. Тензор инерции. Момент импульса твердого тела. Динамическое уравнение Эйлера.

Ключевые слова: кинетическая энергия твердого тела, угловая скорость, тензор инерции, момент импульса твердого тела, уравнения движения.

В механике твердое тело рассматривают как дискретную совокупность материальных точек, т.е. как систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны. Для описания движения твердого тела введем две системы координат: неподвижную, т.е. инерциальную систему , и движущуюся систему координат , которая жестко связана с твердым телом. Начало движущейся системы координат удобно совместить с центром инерции тела. Положение твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется заданием положения движущейся системы. Пусть радиус-вектор указывает положение начала движущейся системы координат. Ориентация же осей этой системы относительно неподвижной определяется тремя независимыми углами. Таким образом, всякое твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы.

Рассмотрим произвольное бесконечно малое перемещение твердого тела. Его можно представить в виде суммы двух частей. Одна из них есть бесконечно малый параллельный перенос тела, в результате которого центр инерции переходит из начального положения в конечное при неизменной ориентации осей подвижной системы координат. Вторая – бесконечно малый поворот вокруг центра инерции, в результате которого твердое тело приходит в конечное положение. Тогда бесконечно малое смещение произвольной точки тела равно

,

где - радиус-вектор точки в неподвижной системе координат, - радиус-вектор той же точки в подвижной системе. Разделив это равенство на время и введя скорости

,

получим

,

где - скорость центра инерции твердого тела, ее называют скоростью его поступательного движения; - угловая скорость вращения твердого тела.

Так как твердое тело рассматривается как дискретная система материальных точек, то кинетическая энергия его будет равна

.

С учетом выражения для скорости любой точки тела имеем

.

Если начало движущейся системы координат выбрано в центре инерции, то

.

Раскрывая квадрат векторного произведения и учитывая, что есть масса тела, получим

.

Первый член в этой формуле есть кинетическая энергия поступательного движения, второй член – кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр инерции.

Кинетическая энергия вращательного движения в тензорных обозначениях запишется в виде

где

называется тензором моментов инерции или просто тензором инерции тела. Тензор инерции – симметричный тензор второго ранга:

.

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела имеет вид

.

Момент импульса твердого тела

или в тензорных обозначениях

.

Поскольку твердое тело обладает шестью степенями свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть независимых уравнений. Их можно представить в виде, определяющем производные по времени от двух векторов – импульса и момента импульса тела:

где - полный импульс тела, - сумма моментов всех сил, действующих на тело.