![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Раздел 7 механика твердого тела
Тема 7.1 Кинематика твердого тела Задача кинематики твердого тела. Виды движения твердого тела. Поступательное движение твердого тела. Вращательное движение твердого тела. Плоское движение твердого тела.
Ключевые слова: поступательное движение твердого тела, вращательное движение твердого тела, плоское движение твердого тела, угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение, закон движения, линейная скорость, касательное ускорение, нормальное ускорение, полное ускорение, полюс, плоская фигура, мгновенный центр скоростей. Задача кинематики твердого тела распадаются на две части: 1) задание движения и определение кинематических характеристик движения в целом; 2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек твердого тела. К основным видам движения твердого тела относятся поступательное, вращательное и плоскопараллельное движения. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями. Например, кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. При поступательном движении общую для всех точек тела скорость Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными. Проходящая через эти неподвижные точки прямая называется осью вращения. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла поворота тела Уравнение (13) выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость
Числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени.Эторавенство показывает также, что величина Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела. Угловое ускорение определяется:
Таким образом, числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени. Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, когда тело вращается ускоренно, и противоположно вектору угловой скорости при замедленном вращении. Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной ( Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (
а угловая скорость определяется формулой
Числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения:
Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и данную точку. Ускорения отдельных точек твердого тела определяются по формулам: где Касательная составляющая ускорения Плоскопараллельным называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела имеют вид: Движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Основными кинематическими характеристиками движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса, а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса. Скорость любой точки плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки, принятой за полюс, и скорости, которую эта точка получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Ускорение любой точки плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки, принятой за полюс, и ускорения, которое эта точка получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Тема 7.2 Динамика твердого тела Кинетическая энергия твердого тела. Тензор инерции. Момент импульса твердого тела. Динамическое уравнение Эйлера. Ключевые слова: кинетическая энергия твердого тела, угловая скорость, тензор инерции, момент импульса твердого тела, уравнения движения. В механике твердое тело рассматривают как дискретную совокупность материальных точек, т.е. как систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны. Для описания движения твердого тела введем две системы координат: неподвижную, т.е. инерциальную систему Рассмотрим произвольное бесконечно малое перемещение твердого тела. Его можно представить в виде суммы двух частей. Одна из них есть бесконечно малый параллельный перенос тела, в результате которого центр инерции переходит из начального положения в конечное при неизменной ориентации осей подвижной системы координат. Вторая – бесконечно малый поворот вокруг центра инерции, в результате которого твердое тело приходит в конечное положение. Тогда бесконечно малое смещение произвольной точки тела равно
где
получим
где Так как твердое тело рассматривается как дискретная система материальных точек, то кинетическая энергия его будет равна
С учетом выражения для скорости любой точки тела имеем
Если начало движущейся системы координат выбрано в центре инерции, то
Раскрывая квадрат векторного произведения и учитывая, что
Первый член в этой формуле есть кинетическая энергия поступательного движения, второй член – кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью Кинетическая энергия вращательного движения в тензорных обозначениях запишется в виде где называется тензором моментов инерции или просто тензором инерции тела. Тензор инерции – симметричный тензор второго ранга:
Таким образом, кинетическая энергия твердого тела имеет вид
Момент импульса твердого тела или в тензорных обозначениях
Поскольку твердое тело обладает шестью степенями свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть независимых уравнений. Их можно представить в виде, определяющем производные по времени от двух векторов – импульса и момента импульса тела: где
|