Есептерінің жіктелу принциптері

Шешiм қ абылдау адам баласының барлық iс-ә рекеттерiнде ү лкен орын алады. Шешiм қ абылдауғ а арналғ ан есептердi қ ою ү шiн екi жағ дай орындалуы мiндеттi:

– шешiмдi қ айдан, қ алай iздеу керек;

– тек бiр мақ сат кө зделінген шешімде бірақ нұ сқ а таң далы-нады.

Егер шешiм қ абылдауды қ ажет ететін жағ дайда шешімнің кем дегенде екі нұ сқ асы болмаса, онда шешiм таң даудың қ ажетi жоқ. Демек, егер кә сiпорнына қ андай ө нiм жә не қ анша ө ндiруi белгiлi болса, онда оғ ан жоспар қ ұ рудың қ ажетi болмайды.

Шешiм таң даудың екi принципi белгiлi: жiгерлi жә не крите-риялды.

Шешім қ абылдау есебі реттелмеген, математикалық моделі қ ұ рылмағ ан жағ дайда, қ алғ ан басқ а кез келген уақ ытта жиi қ олда-нылатын, жалғ ыз мү мкiн бола алатын шешiм, ол жiгерлi таң дау деп аталады.

Бір критерия (грекше kriterion – бір шешімге келу ү шін амал, ө лшем, бағ а) арқ ылы барлық мү мкiн бола алатын нұ сқ аларды салыстырып, қ абылданатын шешiм, критериялық таң дау делінеді. Осы қ абылданғ ан критерия бойынша ең ұ тымды нұ сқ а, оң тайлы (орысша оптимально, латынша optimus) делiнедi, ал осындай есеп-тер – оң тайлау немесе сө йлемнің ың ғ айына байланысты оң тай-ластыру есептерi деп аталады.

Шешiм барлық жағ дайда, барлық мағ ынада оң тайлы болуы мү мкiн емес, ол қ абылданғ ан критерия бойынша табылғ ан тек бiр жалғ ыз мағ ынада ғ ана оң тайлы.

Оң тайлау (оң тайластыру) критериясы – мақ сат функциясы немесе мақ сат функция немесе функционал деп аталады.

Сонымен шешiмi мақ сат функцияның максимальды немесе минимальды мә нiн iздейтiн, кез келген есептi оң тайлау немесе оң тайластыру есебi деп атайды.

Басқ аруда шешім қ абылдау есептерiнде кө бiнесе, ө ндіріс жағ дайы шектеулі, яғ ни айнымалыларғ а қ ойылғ ан шектеулер белгi-лi жағ дайда мақ сат функцияның экстремальды мә нiн iздеу шарты-мен байланыстырылады.

Ә ртү рлi оң тайластыру есептерін шығ арғ анда мақ сат функция ретiнде шығ арылатын ө нiмнiң мө лшерi немесе бағ асы, ө ндiрiс шығ ыны, барлық пайда, табыс жә не т.б. қ абылданады. Шектеулер ретiнде жалпы жағ дайда қ орлар (ресурстар): адам ең бектерi, материалдық немесе ақ шалай шығ ындар жә не т.б. алынады.

Қ азіргі кезде сыртқ ы батыс мемлекеттерінде ө ндірісті басқ а-руда ең кө п таралғ ан жә не ә ртү рлі атпен: шешім қ абылдаудағ ы математикалық ә дістер; ә рекеттерді зерттеу; экономикалық -математикалық ә дістер; экономикалық кибернетиканың ә дістері; оң тайлы басқ ару ә дістері; шешім қ абылдау теориясы жә не т.б. аталып жү рген математикалық ә дістер мен модельдер барлық сауатты мамандарғ а жақ сы белгілі.

ХХ ғ асырда кең естер одағ ында, экстремальды математи-калық есептердi жә не олардың шығ ару ә дiстерiн оқ ытатын мате-матикалық пә н «Математикалық программалау» курсы деп атал-ды. Қ азақ тілінде осы атпен бірнеше оқ у қ ұ ралдары [15, 16 жә не т.б.] жарық қ а шық ты. Экономикалық жә не математикалық ғ ылыми пә ндер кешенін 60-шы жылдары кең ес одағ ының академигі В.С. Немчинов « Э кономикалық -математикалық ә дістер» (ЭММ) деп атауды ұ сынды. Ө ндірістік (оның ішінде экономикалық) есептерді шығ аруда пайдаланылатын қ олданбалы математикалық ә дістердің жиынтығ ы «Ә рекеттерді зерттеу» деп аталды. Осы жерде қ ысқ аша тарихи мә ліметтерге кө п тоқ талмай, бір мағ ыналы ә ртү р-лі сө здіктерді қ ұ растыру арқ ылы қ арастырылып отырғ ан мә селе бойынша орыс тілінде осы кү нге дейін неше тү рлі атпен біраз ә дебиеттер жарық қ а шығ ып жатқ анын атап ө тейік.

Жалпы жағ дайда оң тайластыру есептерінің математикалық қ ойылуы мына жағ дайда: g_i (x ₁, x ₂, … x _n) £ b _i, (i = 1, … m) мақ сат функ-цияның f (x ₁, x ₂, … x _n) ең ү лкен немесе ең кiшi мә нiн анық таумен шектеледі. Мұ ндағ ы g_i жә не f – берiлген функциялар; x _j(j=1, …n) – мә ндерi iзделiнiп отырғ ан айнымалылар; b _i (i=1, … m) – қ орлар мө лшері.

Бiрiншiден математикалық ә дiстерді сызық тық жә не сызық ты емес программалау есептерiн шешетін ә дiстерге бө ледi.

Егер барлық g_i жә не f – функциялары сызық ты, немесе олардың айнымалыларының туындылары жоқ болса, онда мұ ндай есептердi сызық тық программалау (СП) есептерi дейдi.

Егер осы функциялардың кем дегенде бiреуi сызық ты емес болса немесе айнымалыларының туындысы болса, онда мұ ндай есептер сызық ты емес программалау (СЕП) есептерi делiнедi.

Шешу нә тижесiнде берiлген ойыс тұ йық талғ ан кө пшiлiкте, ойыс функцияның минимумы (немесе дө ң ес функцияның максиму-мы) анық талатын ойыс программалау (ОП) есептерi сызық ты емес программалау есептерiнiң iшiндегi ең кө п таралғ аны болып есептелiнедi.

Ойыс программалау есептерi iшiндегi терең қ ұ растырыл-ғ аны квадраттық программалау (КП) есептерi.Мұ ндай есептерде iзделiнiп отырғ ан айнымалылар шектеулердi немесе тең дiктi қ ана-ғ аттандырғ ан жағ дайда квадратты функцияның максимальды (ми-нимальды) мә нi iзделiнедi.

Жалпы экономикалық -математикалық ә дiстер: сызық тық, сызық ты емес, бү тiн санды, бө лшек сызық ты жә не параметрлi программалау есептерi, сонымен қ атар динамикалық жә не стохас-тикалық программалау есептерi болып бө лінеді.

Бү тiнсанды программалау (БП) есептерiндеiзделiнiп отыр-ғ ан айнымалылар тек бү тiн мә н қ абылдайды.

Параметрлi программалау (ПП) есептерiнде мақ сат функ-цияның мә нi немесе айнымалылардың ө згеру мә ндерiнiң мү мкiн бола алатын аймағ ын анық тайтын функция немесе екi функцияда басқ а бiр параметрге байланысты болуы мү мкiн.

Бө лшександы программалау (БСП) есептерiнде айнымалы-лардың ө згеру мә ндерiнiң мү мкiн бола алатын аймағ ын анық тайт-ын функция сызық ты, ал мақ сат функция екi сызық ты функциялар қ атысынан тұ рады.

Динамикалық программалау (ДП) есептерi кү рделі есептер қ атарына жатады. Онда iзделiнiп отырғ ан айнымалылардың мә нiн іздеуде, жұ мыс, кү рделi есептеулер жү ргізілетін кө п кезең дерден тұ ратын ә рекеттерден қ ұ ралады.

Егер мақ сат функция немесе айнымалылардың ө згеру мә нде-рiнiң мү мкiн бола алатын аймағ ын анық тайтын функция кездейсоқ шамалардан тұ ратын болса, онда мұ ндай есептердi стохастикалық программалау (СТП) есептерiне жатқ ызады.

Стандартталғ ан программалар пакеттерiн жә не экономика-лық -математикалық модельдер сыныптарының қ олдануы бойынша басқ ару шешімдерін қ абылдауда оң тайластыру есептерi ә ртү рлi болуы мү мкін. Ө ндірісті басқ ару ү шін орындалатын оң тайластыру есептерi: басқ ару функциясы; оң тайластыру есептерiнiң қ ұ рамы жә не экономикалық -математикалық модельдер белгiлерi бойынша 1.1-кестеде келтірілген ретпен жіктелінеді.

1.1-кесте. Оң тайластыру есептерiнiң жiктелуi

Алғ ашқ ы мә лiметтерге (деректерге) байланысты басқ ару есептерiнiң математикалық ө рнектелуi ү ш типке бө лiнедi: детер-миниялдық тар, ық тималдылық тар жә не анық талмағ ан жағ дайдағ ы есептер. Осындай шешім қ абылдауғ а (ШҚ) арналғ ан модельдердің мындай ерекше белгілерін: алғ ашқ ы мә лiметтерi, iзделiнетiн айнымалылары, байланыстары, есептiң мақ сатын жә не шектеулерiн ө рнектейтiндерді (бейнелейтiндер), бiр жү йеге келтiріп, оларды 1.1-суретте кө рсетілген тү рлерге жіктеуге болады.

1.1-сурет. Модельдерді айнымалылар қ асиеттері бойынша жiктеу

Бастапқ ы мә лiметтерi белгiлi бiр шамалармен берiлген есеп-тердi детерминиялды деп атайды.

Детерминиялық есептер, қ олданылатын параметрлерінiң ша-малары, қ ұ рамы, байланыстары жә не шектеулерi толық анық тал-ғ ан, айқ ын жағ дайда қ ұ рылады, яғ ни олар математикалық кө зқ а-раста бiр мә ндi жә не нақ тылы шешiм алуғ а ың ғ айлы болады.

Детерминиялық есептерде, А – стратегиялық iс - ә рекетте «а» – нә тижесiне ә келетiндiгi, ал В – стратегиялық iс-ә рекетте «в» – нә тижесiне ә келетiндiгi ә рқ ашанда белгiлi. Тек, қ андай нә тиже кө п пайдалы екендiгiн анық тау қ ажет, яғ ни қ андай стратегиялық iс-ә рекет тиiмдi.

Халық шаруашылығ ы модельдерінде g_i жә не f – функция-лардың қ асиеттерiне байланысты экономикалық -математикалық ә дiстер ә ртү рлi есептер сыныбына бө лiнедi, олар ә ртү рлi ә дiстер-мен арнайы программалар пакеттерін қ олдану арқ ылы шешіледі (1.2-кесте).

Егер алғ ашқ ы мә лiметтер мә ні кездейсоқ факторларғ а байла-нысты ө згеріп отыратын болса, онда мұ ндай есептерді кездейсоқ мә нді есептердеп атайды. Мысалғ а, бар қ орлардың шамасы, зат-тардың дер кезiнде жеткiзiлуiне, қ ұ рал-жабдық тың ө нiмдiлiгiне, олардың техникалық қ алпына жә не т.б.с.с. жағ дайғ а байланысты болғ ан жағ дайда нә тижелік кө рсеткіш кездейсоқ мә н қ абылдайды.

1.2- кесте. Оң тайластыру есептерiнiң сыныптары

Сө йтіп, мұ ндай есептерді ық тималдық немесе стохастикалық есептер деп те атайды, ө здерiнiң қ ойылуында кездейсоқ шамалар-дан тұ ратын параметрлер қ арастырылады. Осы параметрлердің мү мкiн бола алатын шамаларына қ андай ық тималдық пен жетуге болатыны берiледi. Мұ ндай есептер, алғ ашқ ы жағ дай айқ ын емес кезде тә уекелдік (орысша – риск) есептерi деп атайды жә не олар-дың шешiлу нә тижесiнiң ық тималдық бағ алары вектор тү рiнде қ алыптасады.

Осы жерде детерминиялды есептер нә тижесiн, ық тималдығ ы бiрге тең тә уеклдік есебi шешiмiнiң ең шеткi шегi алынатын нұ сқ а-сы деп қ арастыруғ а болатынын атап ө тейік.

Ық тималдылық бағ а екi типте болу мү мкiн: объективтi жә не субъективтi. Объективтi ық тималдық бағ а, керектi белгілер саны-ның барлық тексерiлген белгілер санына қ атынасы арқ ылы анық та-лынады.

Мү мкiн болатын келешектегi жағ дайдың алдынала ық тимал-дық бағ асы немесе олардың параметрлерiн сипатайтын мә ліметтер белгiсiз жағ дайда, алғ ы шарты анық талмағ ан есеп қ алыптасады. Мұ ндай есептерді шешу барысында басқ ару стратегиялар ішінен тиімдісін анық тайтын бағ аны дә йектеу ү шін, ерекше қ атынастар жә не есептi шешу жолдары қ арастырылады. Оларды максимакс немесе минимакс немесе максимин бағ алары деп атайды. Есепте максимин бағ а қ арастырылғ ан кезде максимальды пайдалы нә тиже-ге ешқ андай сырттай ештең енiң ә серiнсiз жеткiзетiн стратегиялық iс-ә рекет жасауғ а кө ң іл аударылады. Минимакс бағ а қ арастырылса мү мкiндігiнше аз шығ ынмен максимальды пайдағ а жеткiзетiн стра-тегиялық iс-ә рекет жасауғ а мә н берiледi.

Оң тайластыру модельдерін шешудегі негізгі кезең дер:

– мағ ыналы есепті қ ою;

– есеп туралы барлық деректерді жинау, реттеу (формалдау);

– математикалық модельді қ ұ ру;

– компьютерге сандық -кестелік модельді енгізу жә не шешу;

– есептің шешім нә тижесін талдау;

– есептің шешім нә тижесін графикпен бейнелеу;

– шешім нә тижесі бойынша оң тайлы шешім қ абылдау.

Алдың ғ ы ү ш кезең дер туралы терең мағ ыналы тү сініктер математикалық ә дістер мен модельдер пә ндерінде [1, 2, 12, 15, 16] жан-жақ ты баяндалғ ан. Сондық тан оларғ а тоқ талмаймыз. Бұ л жер-де біздерге қ ызық тысы соң ғ ы тө рт кезең.

1. Компьютерге сандық -кестелік модельді енгізу жә не шешу – бұ л, сө зсіз, осы кітапта ә рбір оң тайластыру есептер сыны-бы ү шін жан-жақ ты қ арастырылғ ан, ең негізгі жауапты сұ рақ. Сандық -кестелік модельді Excel-дің жұ мыс бетіне қ ұ ру тә сілдері келесі бө лімдерде қ арастырылады, ал оны шешу ә дістерін анық тау жауапты мә селе жә не ол туралы да кітапта керекті ақ параттар беріледі.

2. Есептің шешім нә тижесін талдау – оң тайлы шешімдер қ абылдауғ а керекті ең маң ызды аспап. Ол туралы толық мә ліметті – келесі бө лімдерде қ арастырамыз.

3. Есептің шешім нә тижесін графикпен бейнелеу – шешім қ абылдау ү шін қ ажетті ақ параттарды кө рнекі бейнелеуге қ уатты фактор. Бұ л кезең, келесі бө лімдерде толық баяндалынады.

4. Шешім нә тижесі бойынша оң тайлы шешім қ абылдау – жұ мыстың соң ғ ы кезең і. Шешім қ абылдайтын компьютер емес, Excel-де емес, қ абылданғ ан шешім нә тижесіне жауап беретін, есепті қ ойып, компьютерде шешуші адам.

Осы жерде оң тайлы шешім – тек Excel мен орындалғ ан іздеу жұ мысының нә тижесінде алынғ ан мә ндер емес, ол іздеу кө мегі-мен алынғ ан шешім нә тижесімен жә не жү ргізілген талдау арқ ылы анық талғ ан мә ндерді бірге жан-жақ ты бағ алау нә тижесі.

Сонымен, кітапта келесі бө лімдерде қ арастырылатын, ә ртү р-лі есептерді шешу арқ ылы бірнеше рет бейнелеп кө рсетілетін, оң -тайлы шешімдер қ абылдаудың негізгі кезең дері осындай.

Есептің математикалық моделі қ ұ рылғ аннан кейін келесі ке-зекте оны шешу ә дісін анық таймыз. Ол ү шін оң тайластыру модель-дерін шешу ә дістері бойынша жіктеу принциптерін білу қ ажет. 1.3-кестеде оң тайластыру модельдерін жіктеу принциптері берілген.

1.3-кесте. Оң тайластыру модельдерінің шешу ә дістері бойынша жіктелуі

Айнымалылардың ү здікті немесе бү тін санды болуы туралы жай қ арапайым математикалық пә ндерден мектеп қ абырғ асында-ақ тү сінік алғ анбыз. Сондық тан оларғ а тоқ талудың қ ажеті болмас. Дегенмен де, бү тін санды айнымалылармен қ атар екілік айнымалы болатынын жә не олар 0 мен 1 мә нді екенін ескертеміз. Олар туралы кітапта тиісті тақ ырыптарда кең інен тоқ таламыз жә не екілік айны-малылар шешім қ абылдау ү шін қ ұ рылғ ан математикалық модель-дерде жиі қ олданылатынын атап ө тейік.

Сызық ты емес оң тайластыру модельдерінде екі жағ дай – мо-дельдің қ ұ рамында шектеулер жоқ (шартсыз оң тайластыру мо-делі), модельдің қ ұ рамында шектеу бар (шартты оң тайластыру моделі) қ арастырылады. Шешім қ абылдау жағ дайларында бірінші тү рдегі модельдер кө п кездеспейді, себебі ө мірде нақ тылы жағ дай-да ә рқ ашанда қ ойылғ ан мақ сатқ а жетуге шектеулер тү рінде бірдең е кедергі жасайды. Шартсыз модельдерде мақ сат функцияның сы-зық ты емес болуы қ ажетті, себебі мақ сат функция минимумге немесе максимумге ізделінсе жә не есепте шектеулер жоқ болса, онда мұ ндай жағ дай айнымалылардың шексіз мә ндері болуына ә келеді.

1.3-кестеде келтірілген модельдерді шешу ә дістері туралы бір-екі ауыз сө здер. Саспаң ыз, кітапта қ арастырып отырғ ан ә дістер туралы толық теориялық мә ліметтер келтірілген жоқ. Оларды осы жерде еске алып отырғ ан себебіміз, сіздер ә рбір модельдерді шеш-кен кезде оларда ө здеріне тә н ә діс қ олданатынын жә не соғ ан бай-ланысты ә ртү рлі нә тижелер алынатынын білгендерің із жө н. Кес-теде келтірілген модельдерден басқ а да кез келген типтегі модель-дерді шешуге арналғ ан кө птеген ә дістер бар екенін, симплекс ә дісінен басқ а да ә дістермен сызық тық модельдерді шешуге бола-тынын білесіздер. Кестеде келтірілген ә дістер Поиск решения қ ұ ралының қ ұ рамында қ арастырылғ ан. Оларды біз MS Excel-де модельдерді шешуде қ олданамыз. Модельдерді шешу ү шін қ олда-нылатын ә діске байланысты Поиск решения қ ұ ралының пара-метрлері тү зетіледі жә не алынғ ан шешімнің нә тижелерін талдау ү шін ә ртү рлі мү мкіншіліктер пайда болады. Сондық тан қ арасты-рылып отырғ ан модельді қ андай ә діспен шешетінің ізді, сіз анық тү сінсең із, нақ тылы нә тижеге жететінің із сө зсіз.