Основное уравнение равномерного движения

Рассмотрим равномерное движение жидкости в тру­бопроводе (рис. 2). С помощью двух сечений 1-1 и 2-2 выделим массу жидкости, заключенную между эти­ми сечениями, и для нее, пользуясь принципом Д'Аламбера, напишем уравнение динамического равновесия.

Так как движение равномерное, то ускорение равно нулю и, следова-тельно, силы инерции также равны ну­лю. Поэтому в проекции на ось s

(1)

Составим выражение левой части этого равенства — активные силы F_акт

1) Сила земного притяжения её проекция на ось s-s

2) Давление жидкости на торцевые сечения, т. е. силы P₁ и Р₂ (воздействие жидкости, расположенной до сечения 1—1 и за сечением 2—2).

Так как движение жидкости в трубе равномерное, то распределение давления в по перечных сечениях проис­ходят по законам гидростатики. Поэтому и , где p₁ и p₂ — гидростатические давления в цент­ре тяжести площадей ω в точках 1 и 2 на оси трубы (рис.2),

Сумма проекций сил P₁ и P₂ на ось s—s

Рис. 2.

3) Проекции сил N, N... (сил давления стенок трубы на боковую поверхность выделенной массы) на ось s-s будут равны нулю, так как они перпендикулярны оси проекции.

Левая часть уравнения (5.1) будет выражена так:

(2)

Составим выражение правой части уравнения (1). Заметим, что сопротивление движению возникает вслед­ствие тормозящего действия неподвижных стенок трубы. Поэтому силы сопротивления F_сопр можно определить по касательным напряжениям на стенке (рис. 2).

Обозначим через dF силу сопротивления, приходя­щуюся на элементарную полоску шириной dχ и длиной l (рис. 3):

Тогда:

(2а)

Касательное напряжение τ считаем величиной по­стоянной вдоль этой площадки, но оно может изменяться по смоченному периметру.

т

Рис.2

Интегрируя (2а) и пользуясь при этом понятием о среднем, получаем (заменяя τ величиной τ ₀):

(3)

где τ ₀ - среднее значение касательного напряжения на стенке.

С учетом (2) и (3) можно записать уравнение динамического равновесия (1)

или, разделив на , в таком виде:

(4)

где - гидравлический радиус.

Запишем теперь уравнение Бернулли для тех же двух сечений 1—1 и 2—2 (рис, 2):

Поскольку движение равномерное, т. е. , опускаем и из сопоставления уравнений (4) и(5) находим:

или, так как (i — гидравлический уклон), то

или (7)

Это уравнение академик Н. Н. Павловский назвал основным уравнением равномерного дви­жения.

Заметим, что если рассматривать уравнение динами­ческого равновесия не для всей массы жидкости в трубе между сечениями I и II (рис, 2), а для части жидкости в объеме внутреннего соосного цилиндра радиуса r (рис. 4), то, повторив все приведенные выше рассуж­дения, неизбежно получим аналогичный результат, а именно вместо и

(5.7а)

вместо (6), в котором в отличие от уравнения (7) вместо (касательного напряжения на стенке трубы) было бы τ - касательное напряжение на боковой по­верхности внутреннего (малого) цилиндра, и вместо R стояло бы - гидравлический радиус для внутреннего цилиндра радиуса г.

Обращаясь к формуле (6), заметим, что всегда можно записать равенство

полагая при этом, что безразмерный коэффициент величина переменнаяПосле подстановки в уравнение (6) получим

Это формула Вейсбаха, а заменив гидравлический радиус диаметром по условию получим:

или, обозначив ,

,

где λ и ζ - безразмерные коэффициенты.

Эта формула именуется формулой Дарси-Вейсбаха. Она используется для расчета трубопро­водов.

По формуле (7)

с учетом

после подстановки найдем

Обозначив получим формулу

С - есть коэффициент Шези, а формула именуется формулой Шези, она получила широкое применение в расчетах открытых потоков.